通信教育部「数学（線形数学）」
第1章演習問題
- 演習1.19（教科書13p）
-
$\vec a\in\mathbf{R}^n$がすべての$\vec x\in\mathbf{R}^n$に対して垂直，すなわち
$$
(\vec a,\vec x)=0\quad (\vec x\in\mathbf{R}^n)
$$
が成立するとします．このとき$\vec a=\vec 0$となることを示しましょう．
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第3章演習問題
- 演習3.2（教科書65p）
-
次の行列を行基本変形を用いて狭義の階段行列にしましょう．
(1)
$
\begin{pmatrix}
1&2&-1&4\\
3&2&0&2\\
0&1&3&2\\
3&3&3&4
\end{pmatrix}
$
(2)
$\begin{pmatrix}
4&7&-14&10\\
2&3&-4&-4\\
1&1&1&6
\end{pmatrix}
$
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- 演習3.3（教科書66p）
-
(3.4)式，すなわち
\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1&2&3&4&0\\2&3&4&5&0\\3&5&5&7&0
\end{array}
\right)
\rightarrow\cdots\rightarrow
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1&0&0&-1&0\\0&1&0&1&0\\0&0&1&1&0
\end{array}
\right)
\end{equation*}
の行基本変形をしてみましょう．
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- 演習3.4（教科書67p）
-
(3.6)式すなわち
\begin{equation*}%\label{rowechelon020001b}
\begin{pmatrix}
3&2&-1&-2\\
0&2&2&-2\\
1&1&0&-1\\
4&5&1&-5
\end{pmatrix}
\rightarrow\cdots\rightarrow
\begin{pmatrix}
1&0&-1&0\\0&1&1&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0
\end{pmatrix}=B
\end{equation*}
の行基本変形をしましょう．また
(3.7)式において
$
\begin{pmatrix}
1\\-1\\1\\0
\end{pmatrix}
$
と
$
\begin{pmatrix}
0\\1\\0\\1
\end{pmatrix}
$
が平行でないことを示しましょう．
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- 演習3.5（教科書67p）
-
以下の行列$A$に対して斉次方程式$A\vec x=\vec 0$を解きましょう．
(1)
$\begin{pmatrix}
1&2&0&1\\
2&1&1&3\\
3&3&1&4
\end{pmatrix}$
(2)
$
\begin{pmatrix}
1&-3&0&2\\
2&-6&2&2\\
4&-12&3&5
\end{pmatrix}
$
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- 演習3.6（教科書69p）
-
以下の$A_0$に対して斉次方程式$A_0\vec x=\vec 0$を解きましょう．
\begin{equation*}
O_3,\
\begin{pmatrix}
1&\alpha&\beta\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0&1&\alpha\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{pmatrix},
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1&0&\alpha\\
0&1&\beta\\
0&0&0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1&\alpha&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0&1&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
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- 演習3.7（教科書72p）
-
次の拡大行列が表す連立$1$次方程式に解が
存在するかについて調べ，解が存在するならば求めましょう．
(1)
$
\left(
\begin{array}{cccc|c}
1&-1&2&1&2\\
3&2 &0 &1 &1 \\
4&1&2&2&3
\end{array}
\right)
$
(2)
$
\left(
\begin{array}{ccc|c}
2&6&0&11\\
6&20&-6&3\\
0&6&-18&1
\end{array}
\right)
$
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- 演習3.8（教科書72p）
-
連立$1$次方程式
$$
\left\{
\begin{array}{lcl}
2x+y-z&=&1 \\
x-3y+2z&=&4 \\
3x-2y+z&=&c
\end{array}
\right.
$$
に解が存在する条件を求めましょう．
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- 演習3.9（教科書72p）
-
$A=
\begin{pmatrix}
1&1&1\\4&3&2\\0&2&4
\end{pmatrix}
$
とします．$A\vec x=\vec b$に解が存在する条件を求めましょう．
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- 演習3.12（教科書79p）
-
次の行列の逆行列が存在すれば求めましょう．
(1)
$
\begin{pmatrix}
1&1&2&1\\
2&3&4&1\\
3&3&3&1\\
1&2&3&1
\end{pmatrix}
$
(2)
$
\begin{pmatrix}
2&-2&4\\
2&3&2\\
-1&1&-1
\end{pmatrix}
$
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- 演習3.13（教科書80p）
-
$\vec x,\ \vec y,\ \vec z,\ \vec a,\ \vec b,\ \vec c\in\mathbf{R}^n$
が関係式
$$
\left\{
\begin{array}{lcl}
\vec x-\vec y+2\vec z&=&\vec a \\
2\vec x+\vec y-\vec z&=&\vec b \\
3\vec x-2\vec y+ \vec z&=&\vec c
\end{array}
\right.
$$
満たしているとします．このとき$\vec x,\ \vec y,\ \vec z$
を$\vec a,\ \vec b,\ \vec c$で表しましょう．これはある行列の
逆行列を計算して表しましょう．
-
解答PDF
第4章演習問題
- 演習4.8（教科書96p）
-
次の行列式の値を求めましょう．
(1)
$
\begin{vmatrix}
1&2&3\\
4&5&6\\
7&8&9
\end{vmatrix}
$
(2)
$
\begin{vmatrix}
2&-1&-3\\
1&1&1\\
4&5&6
\end{vmatrix}
$
(3)
$
\begin{vmatrix}
2&4&6\\
0&2&3\\
1&4&9
\end{vmatrix}
$
(3)
$
\begin{vmatrix}
1&a&a^2\\
1&b&b^2\\
1&c&c^2
\end{vmatrix}
$
- ビデオ解説
- 解答PDF
- 演習4.9（教科書98p）
-
（教科書97ページにおいて）
$a_1\times\mbox{(III)}-a_2\times\mbox{(II)}+a_3\times\mbox{(I)}$を計算して
定理4.5の$y$の公式
\begin{equation*}
y=
\frac 1D
\begin{pmatrix}
a_1&\alpha_1&c_1\\
a_2&\alpha_2&c_2\\
a_3&\alpha_3&c_3
\end{pmatrix}
\end{equation*}
を導いてください．
- ビデオ解説
- 解答PDF
- 演習4.10（教科書98p）
-
次の連立$1$次方程式をクラメールの公式を用いて解きましょう．
(1)
$
\begin{pmatrix}
2&-2&4\\
2&3&2\\
-1&1&-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}
$
(2)
$
\begin{pmatrix}
2&1&2\\
0&1&-1\\
2&3&-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1\\2\\1
\end{pmatrix}
$
- ビデオ解説
- 解答PDF
- 演習4.11（教科書100p）
- ベクトルの外積について以下の性質が成立することを示しましょう．
(1)
$\vec a\times \vec b=-\vec b\times \vec a$, $\vec a\times \vec
a=\vec 0$
(2)
$(\vec a+\vec b)\times\vec c=\vec a\times \vec c+\vec b\times \vec c$
- ビデオ解説
- 解答PDF
- 演習4.12（教科書100p）
-
\begin{equation*}
\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\0
\end{pmatrix}, \quad
\vec b=
\begin{pmatrix}
0\\1\\-1
\end{pmatrix}, \quad
\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}
\end{equation*}
に対して，以下を求めましょう．
(1)
$\vec a$と$\vec b$が張る平行四辺形の面積．
(2)
$\vec a$と$\vec b$に直交する単位ベクトル．
(3)
$\vec a$と$\vec b$, $\vec c$が張る平行六面体の体積．
- ビデオ解説
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- 演習 4.22（新バージョンの第4章では演習4.25）
-
行列
$
\begin{pmatrix}
2&-\lambda-1&2-\lambda\\
1&-2-\lambda&-1\\
4-\lambda&-2-\lambda&4-\lambda
\end{pmatrix}
$
が正則でないための必要十分条件を$\lambda$について求めましょう．
- [解答ビデオ]
- 演習 4.23
（新バージョンの第4章では演習4.26）
-
行列
$
\begin{pmatrix}
a&1&1\\
1&a&1\\
1&1&a
\end{pmatrix}
$
の階数を$a$について場合分けをして求めましょう．
- [解答ビデオ]
第5章演習問題
- 演習5.1 （教科書 131p)
-
$V$と$W$を$\mathbf{R}^n$の部分空間とします．このとき
$V\cap W$と
$$
V+W:=\{\vec v+\vec w;\ \vec v\in V,\ \vec w\in W\}
$$
$$
V^\perp=\{\vec x\in\mathbf{R}^n;\ (\vec x,\vec v)=0\
%%%2010/02/21
(\mbox{すべての}\vec v\in V)\}
$$
が$\mathbf{R}^n$の部分空間であることを示しましょう
（$V^\perp$を$V$の直交補空間と呼びます）．
- 解説ビデオ,
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- 演習5.2 （教科書 132p)
-
$\vec w=
\begin{pmatrix}
2\\0\\c
\end{pmatrix}
$
が
$
\vec x_1=
\begin{pmatrix}
4\\3\\-1
\end{pmatrix},\
\vec x_2=
\begin{pmatrix}
6\\6\\8
\end{pmatrix}
$
の線型結合となる必要十分条件を求めましょう．
- 解説ビデオ,
解答PDF
- 演習5.3 （教科書 134p）
-
$\vec x\in\mathbf{R}^n$が$\vec x\not=\vec 0$を満たすとします．
このとき$\vec x$が線型独立であることを示しましょう．
- 解説ビデオ,
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- 演習5.4 （教科書 136p）
-
$\vec x_1,\cdots,\vec x_k\in\mathbf{R}^n$とします．
$P\in M_n(\mathbf{R})$が正則であるとき
$$
\vec x_1,\cdots,\vec x_k\mbox{が線型独立}
\Rightarrow
P\vec x_1,\cdots,P\vec x_k\mbox{が線型独立}
$$
を示しましょう．
- 解説ビデオ,
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- 演習5.5 （教科書136p）
-
$\vec x_1,\cdots,\vec x_k\in\mathbf{R}^n$が線型独立
であるとします．また$Q\in M_k(\mathbf{R})$が正則であると
します．
このとき
$$
(\vec x_1\ \cdots\ \vec x_k)Q=(\vec y_1\ \cdots\ \vec y_k)
$$
とすると
$\vec y_1,\cdots,\vec y_k\in\mathbf{R}^n$が
線型独立であることを示しましょう．
- 解説ビデオ,
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- 演習5.6 （教科書136p）
-
\begin{equation*}
\vec x_1,\cdots,\vec x_k\in\mathbf{R}^n
\end{equation*}
が線型独立
であるとします．このとき
\begin{equation*}
\vec x_1,\vec x_1+\vec x_2,\cdots,\vec x_1+\vec x_2+\cdots+
\vec x_k\in\mathbf{R}^n
\end{equation*}
が線型独立であることを示しましょう．
- 解説ビデオ,
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- 演習5.7 （教科書136p）
-
$A=
\begin{pmatrix}
1&0&2\\
-1&3&1\\
2&-4&0
\end{pmatrix}
$
のとき
$
\begin{pmatrix}
a\\b\\c
\end{pmatrix}
\in\mathrm{Im}(A)$
であるための$a,b,c$に関する条件を求めましょう．
- 解説ビデオ,
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- 演習5.8 （教科書137p）
-
$A=
\begin{pmatrix}
1&1&1\\
2&4&3\\
3&1&2\\
1&3&2
\end{pmatrix}
$
に対して$\vec v\in\mathrm{Im}(A)$となる条件を行列によって
$B\vec v=\vec 0$と表しましょう．
- 解説ビデオ,
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- 演習5.9 （教科書137p）
-
次のベクトルの組み合わせが，線型独立か線型従属か判定しましょう．
(1)
$
\begin{pmatrix}
1\\-1\\2
\end{pmatrix}
$,
$
\begin{pmatrix}
2\\3\\1
\end{pmatrix}
$,
$
\begin{pmatrix}
7\\3\\8
\end{pmatrix}
$
(2)
$
\begin{pmatrix}
1\\3\\-2
\end{pmatrix}
$,
$
\begin{pmatrix}
2\\-2\\3
\end{pmatrix}
$,
$
\begin{pmatrix}
2\\1\\7
\end{pmatrix}
$
- 解説ビデオ,
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- 演習5.10 （教科書139p）
-
次の行列$A$に対して$\ker(A)$と$\mathrm{Im}(A)$の基底を
求めましょう．
(1)
$
\begin{pmatrix}
1&2&6\\
2&3&5\\
5&7&9
\end{pmatrix}
$
(2)
$
\begin{pmatrix}
1&-2&-3&5\\
3&1&-7&6\\
2&10&-2&-8
\end{pmatrix}
$
- 解答PDF