MSF2020 L01 0424 演習問題
資料集の問題
- 資料集128ページ
- 確認A,B,C,D
追加問題
Part 01 平面の方程式
- I
-
次の$3$点を通る平面の方程式を求めましょう．
- （(3)のBの座標を修正しました．
（誤）(-1,-1,0)--> 正 (-1,1,0)）
- (1) $(0,0,0)$, $(1,2,3)$, $(4,5,6)$
- (2) $(2,0,0)$, $(0,3,0)$, $(0,0,4)$
- (3) $(1,2,3)$, $(-1,1,0)$, $(2,-3,5)$
- [解答ビデオ]
- （(3)のビデオの解答は計算間違いしています．
（修正版）
）
- II
-
$\begin{pmatrix}
a\\b\\c
\end{pmatrix}
\not=\vec 0
$
とします．平面
$$
ax+by+cz+q=0
$$
と点$(x_0,y_0,z_0)$の距離$\delta$は
$$
\delta=
\frac{|ax_0+by_0+cz_0+q|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
$$
となることを示しましょう．
-
[解答ビデオ]
・
[解答PDF]
Part 02 偏微分係数
- III 偏導関数$f_x$ と $f_y$を計算しましょう．
- (1) $f(x,y)=(2x+3y)(3x+5y)$
- (2) $f(x,y)=\frac x{1+y^2}$
- (3) $f(x,y)=(2x+5y)^3$
- (4) $f(x,y)=\left(\frac {2x+3y}{x+2y}\right)^2$
- (5) $f(x,y)=ye^{x+y}$
Part 03 接平面
- IV 以下の曲面$z=f(x,y)$ の$\mathrm{P}_0(a,b)$
における接平面を求めましょう．
- (1)
$z=xy-2x+2y-1$ at $P_0(0,0,-1)$
- (2)
$z=\frac x{x+y}$ at $P_0(1,-2,-1)$
- (3)
$z=x^2-xy+2y^2$ at $P_0(2,1,4)$
- (4)
$z=\frac y{1+x^2}$ at $P_0(0,0,0)$
- V
-
Cobb-Douglas型生産関数
\begin{equation}
Q=F(K,L)=4K^{\frac 34}L^{\frac 14}
\end{equation}
に対して
$F(10^4+100,625+(-15))$の近似値を
$K=10^4,\ L=625$における
$F_K$, $F_L$の値を用いて求めましょう．電卓でも計算してみましょう．
Part 04 勾配ベクトル・曲線の接線
- VI 以下の曲線$g(x,y)=0$ の $\mathrm{P}_0$
における接線を求めましょう．
- (1)
$g(x,y)=x^2+4y^2-1=0$ at $P_0(\frac1{\sqrt 2}, \frac 1{2\sqrt 2})$
- (2)
$g(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}-1=0$ at
$P_0(1,1)$
- (3)
$g(x,y)=x^2-xy+y^2-1=0$ at $P_0(0,1)$
- VII
ある工場が非熟練労働$x$時間，熟練労働$y$時間を使ってある生産物を
\begin{equation*}
Q=F(x,y)=60x^{\frac 23}y^{\frac 13}
\end{equation*}
単位生産していて，現在$x=64$, $y=27$となっているとします．
- (1) 現在の生産量を求めましょう．
- (2) どの方向に$(x,y)$を変化させれば$Q$が最も増加するでしょうか？
- (3) 熟練労働を1.5時間増加させるが，生産レベルを保つとします．非熟練労働はどのように変化させることになるか近似値を求めましょう．
- 解説ビデオ,
解答PDF,
解答PDF（コメント入り）