数理科学基礎第01講、演習問題(2017年04月07日）
- 講義のレジュメ＋演習問題解答
- I
-
集合$X$の部分集合$A,B\subset X$に対して以下を示しましょう。
\begin{equation}
\text{(i) }A\subset B
\Leftrightarrow
\text{(ii) }A=A\cap B
\Leftrightarrow
\text{(iii) }
B=A\cup B
\end{equation}
- II
-
集合$X$の部分集合$A,B,C\subset X$に対して以下を示しましょう。
\begin{equation}
(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)
\end{equation}
- III
-
命題$P, Q, R$に対して以下の合同式を示しましょう。
\begin{equation}
(P\wedge Q)\vee R\equiv (P\vee R)\wedge(Q\vee R)
\end{equation}
\begin{equation}
(P\vee Q)\wedge R\equiv (P\wedge R)\vee(Q\wedge R)
\end{equation}
- IV
-
集合$X$の部分集合$A,B,C\subset X$に対して以下を示しましょう。
\begin{equation}
A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)
\end{equation}
\begin{equation}
(A\setminus B)\setminus C=A\setminus (B\cup C)
\end{equation}
\begin{equation}
(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)
\end{equation}
- V
- 写像$f:\ X\rightarrow Y$が与えられているとき，
$X$の部分集合$A,B\subset X$に対して以下を示しましょう．
\begin{equation}
f(A\cup B)=f(A)\cup f(B),\quad
f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)
\end{equation}
- VI
- 写像$f:\ X\rightarrow Y$と$g:\ Y\rightarrow Z$が与えられているとき，
以下を示しましょう．
-
(1)$f$, $g$ が全射ならば$g\circ f$も全射となる。
-
(2)$f$, $g$ が単射ならば$g\circ f$も単射となる。
-
(3)$g\circ f$ が全射ならば$g$も全射となる。
-
(4)$g\circ f$ が単射ならば$f$も単射となる。
- [解答ビデオ]
（(1),(2),(3)）
- [解答ビデオ]
（(1)'）