線型代数演習問題(第13講義、2015年10月23日)
- 0
-
$A=\begin{pmatrix}
1&1&1\\
0&-1&1\\
1&0&-2
\end{pmatrix}$
に対して固有多項式$\Phi_A(\lambda)$を求めて、すべての固有値に対して固有ベクトルを求めよ。
- [解答ビデオ]
- I
-
$A=\begin{pmatrix}
1&1&-1&-1\\
1&-1&-1&-1
\end{pmatrix}$
に対して$\mathbf{K}^4$の部分空間$W=\mathrm{ker}(A)$を考えます。
- (1)
$W$の正規直交基底を求めましょう。
- (2)
$W^\perp$の正規直交基底を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- II
- $A\in M_n(\mathbf{K})$に対して
$$
A\text{は正則}\Leftrightarrow
\Phi_A(0)\not=0
$$
が成立することを証明しましょう。
- [解答ビデオ]
- III
- 次の$3$次正方行列$A\in M_3(\mathbf{R})$に対し
て固有値と固有ベクトルをすべて求めましょう。
-
(1)
$
A=
\begin{pmatrix}
1&2&3\\
0&4&0\\
0&5&6
\end{pmatrix}
$
(2)
$A=\begin{pmatrix}1&1&-2\\-1&2&1\\0&1&-1\end{pmatrix}$
(3)
$A=
\begin{pmatrix}
1&2&2\\
1&2&-1\\
-1&1&4
\end{pmatrix}
$
(4)
$A=\begin{pmatrix}3&2&2\\2&2&0\\2&0&4\end{pmatrix}$
- [解答ビデオ](1)・
(2)・
(3)・
(4)
- [IIIの解答PDF]
- IV
- 演習8.1
- [解答ビデオ]
- V
- $A\in M_n(\mathbf{K})$に対して
$$
\Phi_{{}^tA}(\lambda)=\Phi_{A}(\lambda)
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VI
- $\vec a={}^t(1\ 1\ -1\ -1)$とします。部分空間
$$
W=\{\vec v\in\mathbf{R}^4; (\vec v,\vec a)=0\}
$$
の正規直交基底を求めましょう。
- [解答ビデオ]