線型代数演習問題(第13講義、2015年10月23日）

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$A=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 0&-1&1\\ 1&0&-2 \end{pmatrix}$ に対して固有多項式$\Phi_A(\lambda)$を求めて、すべての固有値に対して固有ベクトルを求めよ。

[解答ビデオ]

I

$A=\begin{pmatrix} 1&1&-1&-1\\ 1&-1&-1&-1 \end{pmatrix}$ に対して$\mathbf{K}^4$の部分空間$W=\mathrm{ker}(A)$を考えます。

(1) $W$の正規直交基底を求めましょう。

(2) $W^\perp$の正規直交基底を求めましょう。

[解答ビデオ]

II

$A\in M_n(\mathbf{K})$に対して
$$ A\text{は正則}\Leftrightarrow \Phi_A(0)\not=0 $$ が成立することを証明しましょう。

[解答ビデオ]

III

次の$3$次正方行列$A\in M_3(\mathbf{R})$に対し て固有値と固有ベクトルをすべて求めましょう。

(1) $ A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 0&4&0\\ 0&5&6 \end{pmatrix} $ (2) $A=\begin{pmatrix}1&1&-2\\-1&2&1\\0&1&-1\end{pmatrix}$ (3) $A= \begin{pmatrix} 1&2&2\\ 1&2&-1\\ -1&1&4 \end{pmatrix} $ (4) $A=\begin{pmatrix}3&2&2\\2&2&0\\2&0&4\end{pmatrix}$

[解答ビデオ](1)・ (2)・ (3)・ (4)

[IIIの解答PDF]

IV

演習8.1

[解答ビデオ]

V

$A\in M_n(\mathbf{K})$に対して $$ \Phi_{{}^tA}(\lambda)=\Phi_{A}(\lambda) $$ が成立することを示しましょう。

[解答ビデオ]

VI

$\vec a={}^t(1\ 1\ -1\ -1)$とします。部分空間 $$ W=\{\vec v\in\mathbf{R}^4; (\vec v,\vec a)=0\} $$ の正規直交基底を求めましょう。

[解答ビデオ]