線型代数学演習問題(第12講義、2015年10月16日）

I

次の連立$1$次方程式をクラメールの公式を用いて解きましょ う。$z$の値だけ答えれば十分です。 $$\begin{pmatrix} 3&1&1&1\\ 2&-1&2&-1\\ 2&0&3&1\\ 1&0&2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z\\w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\4\\1\\3 \end{pmatrix}$$

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[参考]$y$について

II

$A\in M_n(\mathbf{K})$の余因子行列を$\tilde A$ とします。このとき $$|\tilde A|=|A|^{n-1}$$ を示しましょう。

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III

教科書の演習 4.22（新バージョンの第4章では演習4.25）

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IV

教科書の演習 4.23 （新バージョンの第4章では演習4.26）

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V

正方行列$A\in M_{2n-1}(\mathbf{K})$は交代行列とします。すなわち $${}^tA=-A$$ を満たすとします。このとき $$\det(A)=0$$ であることを示しましょう。

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VI

正方行列$A\in M_{n}(\mathbf{R})$は直交行列とします。すなわち $${}^tAA=A{}^tA=I_n$$ を満たすとします。このとき $$\det(A)=\pm 1$$ であることを示しましょう。

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VII

正方行列$A, B\in M_{n}(\mathbf{R})$に対して $$\begin{vmatrix} A&B\\ B&A \end{vmatrix} =|A+B|\cdot |A-B|$$ を示しましょう。

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VIII

次の行列式を計算しましょう。

(1) $\begin{vmatrix} 1&3&3&1\\ 3&10&11&4\\ 3&11&14&6\\ 1&4&6&4 \end{vmatrix}$ 　(2) $\begin{vmatrix} 1&-1&3&0\\ 5&2&0&7\\ 0&3&-1&2\\ 1&1&5&9 \end{vmatrix}$ 　(3) $\begin{vmatrix} 3&0&5&2&-1\\ 1&-1&0&0&3\\ 0&3&-2&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 1&-1&0&0&7 \end{vmatrix}$ 　(4) $\begin{vmatrix} x&-1&0&0\\ 0&x&-1&0\\ 0&0&x&-1\\ a_3&a_2&a_1&x \end{vmatrix}$

[解答ビデオ](1)・ (2)・ (3)・ (4)

IX

以下では、実対称行列$A\in M_2(\mathbf{R})$ に対して $$\begin{eqnarray*} (A\vec x,\vec x)\geq 0 (\vec x\in \mathbf{R}^2)&\Leftrightarrow& A\text{の固有値}\alpha,\beta\geq 0\\ &\Leftrightarrow& A=\begin{pmatrix} a&c\\c&b\end{pmatrix}\text{のとき} a,b\geq 0,|A|\geq 0 \end{eqnarray*}$$ であることを以下では用います。$m\times 2$行列$B=(\vec a\ \vec b)$に対し て不等式 $$\left\| (\vec a,\vec b) \right\| \leq ||\vec a||\cdot ||\vec b||$$ が成立することを示しましょう。さらに不等式の等号成立条件を求めましょう。

[解答ビデオ]