線型代数学演習問題(第12講義、2015年10月16日）
- I
次の連立$1$次方程式をクラメールの公式を用いて解きましょ
う。$z$の値だけ答えれば十分です。
$$
\begin{pmatrix}
3&1&1&1\\
2&-1&2&-1\\
2&0&3&1\\
1&0&2&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y\\z\\w
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\4\\1\\3
\end{pmatrix}
$$
- [解答ビデオ]
- [参考]$y$について
- II
-
$A\in M_n(\mathbf{K})$の余因子行列を$\tilde A$
とします。このとき
$$
|\tilde A|=|A|^{n-1}
$$
を示しましょう。
- [解答ビデオ]
- III
- 教科書の演習 4.22（新バージョンの第4章では演習4.25）
- [解答ビデオ]
- IV
- 教科書の演習 4.23
（新バージョンの第4章では演習4.26）
- [解答ビデオ]
- V
- 正方行列$A\in M_{2n-1}(\mathbf{K})$は交代行列とします。すなわち
$$
{}^tA=-A
$$
を満たすとします。このとき
$$
\det(A)=0
$$
であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VI
- 正方行列$A\in M_{n}(\mathbf{R})$は直交行列とします。すなわち
$$
{}^tAA=A{}^tA=I_n
$$
を満たすとします。このとき
$$
\det(A)=\pm 1
$$
であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VII
- 正方行列$A, B\in M_{n}(\mathbf{R})$に対して
$$
\begin{vmatrix}
A&B\\
B&A
\end{vmatrix}
=|A+B|\cdot |A-B|
$$
を示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VIII
- 次の行列式を計算しましょう。
-
(1)
$
\begin{vmatrix}
1&3&3&1\\
3&10&11&4\\
3&11&14&6\\
1&4&6&4
\end{vmatrix}
$
(2)
$
\begin{vmatrix}
1&-1&3&0\\
5&2&0&7\\
0&3&-1&2\\
1&1&5&9
\end{vmatrix}
$
(3)
$
\begin{vmatrix}
3&0&5&2&-1\\
1&-1&0&0&3\\
0&3&-2&0&0\\
0&0&1&0&0\\
1&-1&0&0&7
\end{vmatrix}
$
(4)
$
\begin{vmatrix}
x&-1&0&0\\
0&x&-1&0\\
0&0&x&-1\\
a_3&a_2&a_1&x
\end{vmatrix}
$
- [解答ビデオ](1)・
(2)・
(3)・
(4)
- IX
-
以下では、実対称行列$A\in M_2(\mathbf{R})$
に対して
\begin{eqnarray*}
(A\vec x,\vec x)\geq 0 (\vec x\in \mathbf{R}^2)&\Leftrightarrow& A\text{の固有値}\alpha,\beta\geq 0\\
&\Leftrightarrow& A=\begin{pmatrix} a&c\\c&b\end{pmatrix}\text{のとき} a,b\geq 0,|A|\geq 0
\end{eqnarray*}
であることを以下では用います。$m\times 2$行列$B=(\vec a\ \vec b)$に対し
て不等式
$$
\left\|
(\vec a,\vec b)
\right\|
\leq ||\vec a||\cdot ||\vec b||
$$
が成立することを示しましょう。さらに不等式の等号成立条件を求めましょう。
- [解答ビデオ]