第1講義演習問題（2015年6月5日）

I

$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&-4\end{pmatrix}$とします。

(1) $A$を対角化しましょう。

(2) 微分方程式
$$ \frac d{dt} \begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix} =A\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix} $$ の解を初期値$\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}$で表しましょう。

解答ビデオI(1), 解答ビデオI(2), Iの補足

II, IIIは次回に出題します。

IV

$\vec a_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\-1\end{pmatrix}$, $\vec a_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}$, $\vec c=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$
とします。

$A=(\vec a_1\ \vec a_2)$とするとき
$$ ||A\vec v-\vec c||^2 $$ を最小にする$\vec v\in\mathbf{R}^2$を$A$のグラム行列${}^tAA$を用いて表しましょう。

解答ビデオIV

V

$\vec a_1,\vec a_2,\vec c\in\mathbf{R}^n$, $A=(\vec a_1\ \vec a_2)$とします。

$\vec v_0\in\mathbf{R}^2$が $$ ||\vec c-A\vec v_0||^2\leq ||\vec c-A\vec v||^2\quad(\vec v\in\mathbf{R}^2) $$ を満たすとします。このとき $$ (\vec c-A\vec v_0,A\vec v)=0\quad \quad(\vec v\in\mathbf{R}^2) $$ が成立することを示しましょう。

解答ビデオV

解答

VI

$\vec a_1,\vec a_2\in\mathbf{R}^n$, $A=(\vec a_1\ \vec a_2)$とします。 このとき $$ {}^tAA \mbox{が正則} \Leftrightarrow \vec a_1\nparallel\vec a_2 $$ であることを示しましょう。

解答ビデオVI