第1講義演習問題(2015年6月5日)
- I
- $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&-4\end{pmatrix}$とします。
- (1) $A$を対角化しましょう。
- (2)
微分方程式
$$
\frac d{dt}
\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}
=A\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}
$$
の解を初期値$\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\end{pmatrix}$で表しましょう。
- 解答ビデオI(1),
解答ビデオI(2), Iの補足
- II, IIIは次回に出題します。
- IV
- $\vec a_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\\-1\end{pmatrix}$,
$\vec a_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}$,
$\vec c=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$
とします。
- $A=(\vec a_1\ \vec a_2)$とするとき
$$
||A\vec v-\vec c||^2
$$
を最小にする$\vec v\in\mathbf{R}^2$を$A$のグラム行列${}^tAA$を用いて表しましょう。
- 解答ビデオIV
- V
-
$\vec a_1,\vec a_2,\vec c\in\mathbf{R}^n$, $A=(\vec a_1\ \vec a_2)$とします。
-
$\vec v_0\in\mathbf{R}^2$が
$$
||\vec c-A\vec v_0||^2\leq ||\vec c-A\vec v||^2\quad(\vec v\in\mathbf{R}^2)
$$
を満たすとします。このとき
$$
(\vec c-A\vec v_0,A\vec v)=0\quad \quad(\vec v\in\mathbf{R}^2)
$$
が成立することを示しましょう。
- 解答ビデオV
- 解答
- VI
-
$\vec a_1,\vec a_2\in\mathbf{R}^n$, $A=(\vec a_1\ \vec a_2)$とします。
このとき
$$
{}^tAA \mbox{が正則} \Leftrightarrow
\vec a_1\nparallel\vec a_2
$$
であることを示しましょう。
- 解答ビデオVI