①公共財の最適供給問題について、家計Bがすでに効用を最大化して効用水準がUB*に達していて、この水準UB*を維持しつつ、家計Aの効用を最大化すればよい。そこで、家計Aの効用最大化問題を考える。
max UA(xA, G)＝５xAG
subject to ３xBG＝UB*,
x－８G＝０,
xA＋xB＋x＝９６０
について、ラグランジュ乗数法で解く（ラグランジュ関数をＬとする）
Ｌ＝５xAG＋λ1{３xBG－UB*}＋λ2{xA＋xB＋x－９６０}＋λ3{x－８G}
この１階条件より、
xA＋xB＝８G
となり、サミュエルソンの公式が得られる。この式とxA＋xB＋８G＝９６０より、
８G＋８G＝９６０
よって、この下での公共財供給量は
G＝６０
となる。
②公共財の自発的供給問題（ナッシュ均衡）については以下のように解く。家計Aの公共財供給量をTA、家計Bの公共財供給量をTBとする。このとき、TA＋TB＝Gの関係が成り立っている。そこでまず家計Aの効用最大化問題（TBを所与として）、
max UA(xA, G)＝５xAG
subject to xA＋８TA＝３６０,
TA＋TB*＝G
について、ラグランジュ関数をＬ＝５xA(TA＋TB*)＋λ1(３６０－xA－８TA)とする。
次に、家計Bの効用最大化問題（TAを所与として）、
max UB(xB, G)＝３xBG
subject to xB＋８TB＝６００
TA*＋TB＝G
について、ラグランジュ関数をＬ＝３xB(TA*＋TB)＋λ2(６００－xB－８TB)とする。
これらを解くと、それらの１階条件から
xA xB
────＝────＝８
TA＋TB TA＋TB
となる。上式と予算制約式より
xA＝３６０－８TA,
xB＝６００－８TB
となる。したがって、ナッシュ反応関数は
TA＝４５／２－TB／２,
TB＝７５／２－TA／２
となる。このとき、ナッシュ均衡点では、TA＝５, TB＝３５となる。よって、この下での公共財供給量は
G＝４０
となる。
③政府による公共財供給問題（リンダール均衡）については以下のように解く。hAとhBの関係はhA＋hB＝１である。そこでまず家計Aの効用最大化問題（hAを所与として）、
max UA(xA, G)＝５xAG
subject to xA＋８hAG＝３６０
について、ラグランジュ関数をＬ＝５xAG＋λ1(３６０－xA－８hAG)とする。
次に、家計Bの効用最大化問題（hBを所与として）、
max UB(xB, G)＝３xBG
subject to xB＋８hBG＝６００
について、ラグランジュ関数をＬ＝３xBG＋λ2(６００－xB－８hBG)とする。
これらの１階条件から、
xA xB
──＝８hA, ──＝８hB
G G
となる。上式と予算制約式から、
２hAG＝４５, ２hBG＝７５
が得られる。このとき、２(hA＋hB)G＝１２０であり、hA＋hB＝１だから、この下での公共財供給量はG＝６０となる。
よって、
hA＝３／８(＝４５／１２０),
hB＝５／８(＝７５／１２０)
となる。
