\[ a\sum_{i=0}^{n-1}r^i=a\frac{1-r^n}{1-r} \]
\[ a\sum_{i=0}^\infty r^i=\frac{a}{1-r} \]
\[ a\sum_{i=1}^\infty r^i=\frac{ar}{1-r} \]
\[ \sum_{i=0}^{n-1}(a+id)=an+\frac{n(n-1)d}{2} \]
\[\max_{x(t)} \int_{0}^{T}{F(t,x(t),\dot{x}(t))dt} \] - オイラー方程式: Euler equation [必要条件: the necessary condition for optimization]
-
\[\frac{\partial F}{\partial x}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}\right)=0 \]
\[\max_{\mathbf{x}(t)} \int_{0}^{T}{F(t,\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t))dt} \] s.t. \(\dot{y}_i(t)=g_i(t,\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t)) \) \[\mathbf{x}(t)=(x_1(t),x_2(t),\ldots,x_m(t)), \mathbf{y}(t)=(y_1(t),y_2(t),\ldots,y_n(t)) \] - ハミルトン関数: Hamiltonian (function)
\[\mathcal{H}=F(t,\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t))+\sum_{i=1}^{n}\lambda_ig_i(t,\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t)) \] - １階条件: first order conditions
-
\[\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x_i}=0 \] \[\dot{\lambda}_i(t)=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial y_i} \]
- 現在価値ハミルトン関数: present value Hamiltonian (function)
-
\[\max_{\mathbf{x}(t)} \int_{0}^{T}{f(t,\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t))e^{-\rho t}dt} \] s.t. \(\dot{y}_i(t)=g_i(t,\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t)) \) \[\mathbf{x}(t)=(x_1(t),x_2(t),\ldots,x_m(t)), \mathbf{y}(t)=(y_1(t),y_2(t),\ldots,y_n(t)) \] - 現在価値ハミルトン関数: present value Hamiltonian (function)
\[\mathcal{H}=f(t,\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t))+\sum_{i=1}^{n}\mu_ig_i(t,\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t)) \] - １階条件: first order conditions
-
\[\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x_i}=0 \] \[\dot{\mu}_i(t)-\rho\mu_i(t)=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial y_i} \]
- 中間値の定理: mean theorem
- 関数\(f(x) \)が閉区間\( \left[ a,b \right] \)において連続で開区間\( \left(a,b \right) \)において微分可能であるとする。このとき、
\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \] \[a< c< b \] - を満たす\( c \) が存在する。
関数\( f(x) \)が閉区間\( \left[ a,b \right] \)において連続（だから積分可能）であるとする。このとき、
\[ f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx \] \[a< c< b \] - を満たす\( c \) が存在する。
- を満たす\( c \) が存在する。
- １階１次微分方程式: first order linear differential equation
-
\[\dot{x}+a(t)x+b(t)=0 \] \[\mbox{解： }x=e^{-\int a(t)dt} \{ C-\int b(t)e^{\int a(t)dt}dt \} \]
- 導関数:
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\[f(x) \] \[ f'(x) \] \[ \frac{f(x)}{g(x)} (g'(x)\neq 0) \] \[\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x) \}^2} \] \[ a^x (a \neq 1,a>0) \] \[ a^x \log a \] \[ e^x \] \[ e^x \] \[ e^{-x} \] \[ -e^{-x} \]
\[f(x) \] \[ f^{(n)}(x) \] \[ x^a \] \[ a(a-1)\ldots(a-n+1)x^{a-n} \] \[ a^x (a \neq 1,a>0) \] \[ a^x (\log a)^n \] \[ \log|x| (x \neq 0) \] \[ (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n} \]
- 合成関数の微分:
- 関数\(z=f(x,y) \)の１次の偏導関数が連続で、\(x=g(w) \)と\(y=h(w) \)が微分可能とする。このとき、\(z=f(g(w),h(w)) \)について、
-
\[\frac{dz}{dw}=f_x\frac{dx}{dw}+f_y\frac{dy}{dw} \]
- 陰関数微分：
- 陰関数\(f(x,y) \)= 0が全微分可能ならば、
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\[\frac{dy}{dx}=-\frac{f_x}{f_y} \]
- オイラーの公式: Euler's formula
- \(k \)次同次関数\(f(x,y) \)に対して
-
\[kf(x,y)=xf_x(x,y)+yf_y(x,y) \]
- ２次方程式: second order equation
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\[ax^2+bx+c=0 \] \[\mbox{解： }x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \] 学生時代は忘れたことがない程なじみの公式でしたが、最近はたまにしか使わなくないので、部分的に一瞬忘れてしまうことがあるんですよね、意外と。
※ ここに載っていない公式を一目で見たい方は ※
私は、ピ−ター・バーグ＝クヌート・シュドセーテル著（鈴村興太郎・丹野忠晋訳）『エコノミスト数学マニュアル』 日本評論社を使っています。でも、この本をいちいち持って出かけるのは面倒ですから、こうしてウェブサイトに載せようと思い立ったわけです。もちろん、公式はその導出が重要です。どのようにして導出されたかは、上記の本には書かれていませんから、各自で導出が書かれている本を参照して下さい。
- ギリシャ文字
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Α α alpha アルファ Β β beta ベータ Γ γ gamma ガンマ Δ δ delta デルタ Ε ε epsilon イプシロン／エプシロン Ζ ζ zeta ゼータ Η η eta イータ／エータ Θ θ theta シータ／テータ Ι ι iota イオタ Κ κ kappa カッパ Λ λ lambda ラムダ Μ μ mu ミュー Ν ν nu ニュー Ξ ξ xi グザイ Ο ο omicron オミクロン Π π pi パイ Ρ ρ rho ロー Σ σ sigma シグマ Τ τ tau タウ Υ υ upsilon ウプシロン Φ φ phi ファイ／フィー Χ χ chi カイ Ψ ψ psi プサイ／プシー Ω ω omega オメガ
ギリシャ文字は、読み方は覚えていても、順番や英語でのつづりをうっかり忘れたりするんですよね。そんな訳で、公式とは関係ありませんが、理論モデルを書くときの記号としてお世話になるギリシャ文字も載せておきました。
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- 中間値の定理: mean theorem
- 現在価値ハミルトン関数: present value Hamiltonian (function)
- 現在価値ハミルトン関数: present value Hamiltonian (function)
- ハミルトン関数: Hamiltonian (function)
