Processing math: 100%

経済学のための数学公式集

　ある日、私は大学の研究室で理論モデルの計算をしていました。そのとき、計算に必要な初歩的な数学の公式をうっかり忘れてしまい、その公式が載っている本を研究室の本棚で探しましたが、自宅に置き忘れてきことに気づきました。あまりにも初歩的な公式なので、図書館に行ったりして時間をかけて探すのは馬鹿らしい。かといって、このままではこの続きの計算ができないので弱ってしまいました。

　そのとき、大学の研究室のパソコンはインターネットに常時接続しているので、どこかに公式が載っているウェブサイトがあるだろう、と期待を膨らませて検索しました。しかし、載っているウェブサイトがありませんでした。私は実に残念な思いをしました。私のウェブサイトに経済学で使う数学の公式を載せておけば、今後はそんな不便な思いをする必要がない。そんな経緯から、このページを作ろうと思い立ったのでした（「必要は発明の母」とは、言い得て妙ですね）。皆様にもお役に立てれば幸いです。

※　使用上の注意　※

　このページは、あくまでも私が研究に必要な数学の公式を、備忘のために列挙しているものです。ここに載っていない公式は経済学にとって重要でないとは、一切意味しません。公式を表示するときに、ノーテーションや書くべき仮定を省略していることがあります（あくまでも私の備忘のためなので、私が思い出すに足る情報しか書いていません）。また、ここに載っている公式の中には、こんな重要なものを忘れてしまうとはなんと記憶力が悪いことか、という極めて初歩的なものも含まれています（最近私は、どうでもいいことを鮮明に覚えていたり、重要なことをすっかり忘れていたり、記憶力に偏りがあるもので…）。さらに、教育上の配慮から言えば、このページに公式だけしか書かれていないからといって、公式を暗記しさえすれば万全だと言いたいわけではありません。公式はその導出過程を理解することが重要です。これらの点をお含み置き下さい。

等比級数の和: the sum of geometric series
- $a\sum_{i=0}^{n-1}r^i=a\frac{1-r^n}{1-r}$
- $a\sum_{i=0}^\infty r^i=\frac{a}{1-r}$
- $a\sum_{i=1}^\infty r^i=\frac{ar}{1-r}$
等差級数の和: the sum of arithmetric series
- $\sum_{i=0}^{n-1}(a+id)=an+\frac{n(n-1)d}{2}$
変分法: calculus of variations
- $\max_{x(t)} \int_{0}^{T}{F(t,x(t),\dot{x}(t))dt}$
  
  オイラー方程式: Euler equation [必要条件: the necessary condition for optimization]
  
  $\frac{\partial F}{\partial x}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}\right)=0$

ハミルトン関数: Hamiltonian (function)

$\max_{\mathbf{x}(t)} \int_{0}^{T}{F(t,\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t))dt}$

s.t.	$\dot{y}_i(t)=g_i(t,\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t))$
	$\mathbf{x}(t)=(x_1(t),x_2(t),\ldots,x_m(t)), \mathbf{y}(t)=(y_1(t),y_2(t),\ldots,y_n(t))$

ハミルトン関数: Hamiltonian (function)

$\mathcal{H}=F(t,\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t))+\sum_{i=1}^{n}\lambda_ig_i(t,\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t))$

１階条件: first order conditions

$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x_i}=0$

$\dot{\lambda}_i(t)=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial y_i}$

現在価値ハミルトン関数: present value Hamiltonian (function)

$\max_{\mathbf{x}(t)} \int_{0}^{T}{f(t,\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t))e^{-\rho t}dt}$

s.t.	$\dot{y}_i(t)=g_i(t,\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t))$
	$\mathbf{x}(t)=(x_1(t),x_2(t),\ldots,x_m(t)), \mathbf{y}(t)=(y_1(t),y_2(t),\ldots,y_n(t))$

現在価値ハミルトン関数: present value Hamiltonian (function)

$\mathcal{H}=f(t,\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t))+\sum_{i=1}^{n}\mu_ig_i(t,\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t))$

１階条件: first order conditions

$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x_i}=0$

$\dot{\mu}_i(t)-\rho\mu_i(t)=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial y_i}$

中間値の定理: mean theorem
関数 $f(x)$ が閉区間 $\left[ a,b \right]$ において連続で開区間 $\left(a,b \right)$ において微分可能であるとする。このとき、

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$ $a< c< b$

を満たす $c$ が存在する。

関数 $f(x)$ が閉区間 $\left[ a,b \right]$ において連続（だから積分可能）であるとする。このとき、

$f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$ $a< c< b$

を満たす $c$ が存在する。
１階１次微分方程式: first order linear differential equation

$\dot{x}+a(t)x+b(t)=0$

$\mbox{解：　}x=e^{-\int a(t)dt} \{ C-\int b(t)e^{\int a(t)dt}dt \}$

導関数:

$f(x)$	$f'(x)$
$\frac{f(x)}{g(x)} (g'(x)\neq 0)$	$\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x) \}^2}$
$a^x (a \neq 1,a>0)$	$a^x \log a$
$e^x$	$e^x$
$e^{-x}$	$-e^{-x}$

$f(x)$	$f^{(n)}(x)$
$x^a$	$a(a-1)\ldots(a-n+1)x^{a-n}$
$a^x (a \neq 1,a>0)$	$a^x (\log a)^n$
$\log\|x\| (x \neq 0)$	$(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n}$

合成関数の微分:
関数 $z=f(x,y)$ の１次の偏導関数が連続で、 $x=g(w)$ と $y=h(w)$ が微分可能とする。このとき、 $z=f(g(w),h(w))$ について、

$\frac{dz}{dw}=f_x\frac{dx}{dw}+f_y\frac{dy}{dw}$
陰関数微分：
陰関数 $f(x,y)$ = 0が全微分可能ならば、

$\frac{dy}{dx}=-\frac{f_x}{f_y}$
オイラーの公式: Euler's formula
$k$ 次同次関数 $f(x,y)$ に対して

$kf(x,y)=xf_x(x,y)+yf_y(x,y)$
２次方程式: second order equation

$ax^2+bx+c=0$

$\mbox{解：　}x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

学生時代は忘れたことがない程なじみの公式でしたが、最近はたまにしか使わなくないので、部分的に一瞬忘れてしまうことがあるんですよね、意外と。

※　ここに載っていない公式を一目で見たい方は　※

　私は、ピ－ター・バーグ＝クヌート・シュドセーテル著（鈴村興太郎・丹野忠晋訳）『エコノミスト数学マニュアル』日本評論社を使っています。でも、この本をいちいち持って出かけるのは面倒ですから、こうしてウェブサイトに載せようと思い立ったわけです。もちろん、公式はその導出が重要です。どのようにして導出されたかは、上記の本には書かれていませんから、各自で導出が書かれている本を参照して下さい。

ギリシャ文字

Α	α	alpha	アルファ
Β	β	beta	ベータ
Γ	γ	gamma	ガンマ
Δ	δ	delta	デルタ
Ε	ε	epsilon	イプシロン／エプシロン
Ζ	ζ	zeta	ゼータ
Η	η	eta	イータ／エータ
Θ	θ	theta	シータ／テータ
Ι	ι	iota	イオタ
Κ	κ	kappa	カッパ
Λ	λ	lambda	ラムダ
Μ	μ	mu	ミュー
Ν	ν	nu	ニュー
Ξ	ξ	xi	グザイ
Ο	ο	omicron	オミクロン
Π	π	pi	パイ
Ρ	ρ	rho	ロー
Σ	σ	sigma	シグマ
Τ	τ	tau	タウ
Υ	υ	upsilon	ウプシロン
Φ	φ	phi	ファイ／フィー
Χ	χ	chi	カイ
Ψ	ψ	psi	プサイ／プシー
Ω	ω	omega	オメガ

ギリシャ文字は、読み方は覚えていても、順番や英語でのつづりをうっかり忘れたりするんですよね。そんな訳で、公式とは関係ありませんが、理論モデルを書くときの記号としてお世話になるギリシャ文字も載せておきました。