Courses by Nobuyuki TOSE, Year 2025-26

24年度,

Linear Algebra (S2 and A)

Lec 09 10/02

内容 2次元固有値問題に関して理論的な内容を解説します。さらに、Cayle-Hamiltonの定理と2次正方行列の累乗の計算法・力学系について説明します。時間が許せば、2次正方行列のJordan標準系について解説します。

キーワード 固有値問題，固有値，固有ベクトル、ケーリー・ハミルトンの定理・行列の多項式・力学系

演習問題 (2020年度L06) 確認問題 ・ I,II,III解答 ・ IV解答 ・ 演習問題（I,V,VIが該当） ・ 解答

Lec 08 10/02

内容2次正方行列の固有値問題を解説します．ただし、一般の次元の内容も可能な限り並行して解説します。

キーワード 固有値問題，固有値，固有ベクトル、力学系

練習問題

復習用の資料 「2次正方行列の正則性について」

演習問題 2次元固有値問題の演習 の問題II ・ 解答 （問題II(1)の解答にエラーがありますので，下のSTlin第6章の問題6.2(1)を参照してください．）

演習問題（2020年度L04） 演習問題(I--VIIが該当） ・ 解答前半 ・ 後半

（別系統のテキスト） 「STLIN第6章「固有値問題入門---2次元の場合」 テキスト, 演習問題, 演習問題解答（2024年10月5日に更新）

（別系統のテキスト） 「STLIN第7章「回転行列・直交行列・2次形式---2次元の場合」 テキスト・ 演習問題・ 演習問題解答(2022/03/01修正版）・ 追加問題解答(2021/09/22版）

Lec 07 07/17

内容 (i) 行列の演算について，特に行列の転置について (ii) 実ベクトルの内積について，直交行列 (iii) 次元とは

キーワード 次元・行列の掛け算・実ベクトルの内積・転置行列・直交行列

資料　

• 「内積とその応用」
• 直交行列入門
• 行列の演算については（下にある）MSFの第5章を使います．
• 「行列の掛け算・行列の転置」
• ハンドアウト「次元について」 ・ 「線型独立性・基底・次元」

Lec 06 07/10

内容 (i) 行列の演算について，特に行列の転置について (ii) 実ベクトルの内積について (iii) 次元とは

キーワード 次元・行列の掛け算・転置行列・実ベクトルの内積

資料　

• L05の小テストの解説 （行列の転置・グラム行列・直交行列）
• 行列の転置はなぜ？
• L06の小テスト解答と補足 （行列の転置・グラム行列・GSの直交化）
• 行列の演算については（下にある）MSFの第5章を使います．
• 「行列の掛け算・行列の転置」
• 「内積とその応用」
• 「線型独立性・基底・次元」

練習問題 問題 ・ 解答

演習問題 (2020年度L06) （確認問題のI,II,IIIが該当） 確認問題 ・ I,II,III解答 ・ IV解答 ・ 演習問題 ・ 解答

Lec 05 07/03

内容 (i) 正則性について（残り）・次元とは (ii) 行列の演算について (iii) 実ベクトルの内積について

キーワード 行列の正則性・次元・行列の掛け算・転置行列・実ベクトルの内積

資料　

• ハンドアウト「正則性・次元」
• 「線型独立性・基底・次元」
• 行列の演算については（下にある）MSFの第5章を使います．
• 「行列の掛け算・行列の転置」
• 「内積とその応用」

練習問題 問題 ・ 解答

演習問題 （2020年度L04）確認問題 ・ 解答 前半 ・ 後半 ・ 演習問題 ・ 解答前半 ・ 後半

行列の演算については下の「第5章」を使います．

MSF2019第5章「行列の演算について」 テキスト , 確認問題 ・解答, 演習問題 ・解答, テキスト演習問題 ・ 解答

Lec 04 06/26

内容 (i) 3次元部分空間の基底変換・座標変換・次元とは (ii) 3次行列式について学びます．（L03の続き：クラメールの公式・逆行列など） (iii) 3次元実列ベクトルの外積について補足します．

キーワード　次元の入門・3元一次連立方程式のクラメールの公式・逆行列のクラメールの公式・3次正則行列の特徴付

資料　

• 「3次元部分空間について」（L03小テスト解説）
• 「3次行列式」（No.2)
• 「逆行列のクラメールの公式」
• 「3次行列式と外積」（MSF2025第3章から）
• 「正則性について」（その1） ・ 「正則について（その2）」
• 「線型独立性・基底・次元」 （2025/06/18に追加）

練習問題 練習問題 （V002, 06/23に修正） ・ 解答

演習問題（2020年度L05） 確認問題 ・ 解答 ・ 演習問題 ・ 解答

演習問題 「3次行列式（確認問題）」 ・ 解答 ・ 「3次行列式（演習問題）」 ・ 解答

Lec 03 06/19

内容 (i) 2次元部分空間の基底について学びます（次元について） (ii) 2次正方行列の具体例を学んだ後に正則性について考えます． (iii) 3次元実列ベクトルの外積について補足します． (iv) 3次行列式について学びます．（L02の続き）

キーワード　次元の入門・２次正方行列の正則性・回転行列・折り返しの行列・3次正方行列の積と行列式・3元一次連立方程式のクラメールの公式

資料　

• 「2次元部分空間」（続き）（L01小テストの解答の補足）（L02の残り2ページで次元について説明します）
• 「2 次正則行列・回転行列・直交射影」（単位行列から）
• 「3次行列式と外積」（MSF2025第3章から）
• 「3次行列式」(No. 1)（L02の続きから） ・ 「3次行列式」（No.2)
• 「逆行列のクラメールの公式」
• (06/19 00:00に追加） 「正則性について」（その1） ・ 「正則について（その2）」

練習問題 練習問題 ・ 解答（問題III,IV,V,VIはL04に回します．）

演習問題 「3次行列式（確認問題）」 ・ 解答 ・ 「3次行列式（演習問題）」 ・ 解答

Lec 02 06/12

内容 (i) 2次元部分空間の基底変換と座標変換について学びます (ii) 2次正方行列の具体例を学んだ後に正則性について考えます． (iii) 3次元実列ベクトルの外積について補足します． (iv) 3次行列式について学びます．

キーワード 2次元部分空間の基底変換と座標変換・3次行列式の基本性質

資料　

• 「2次元部分空間」（続き）（L01小テストの解答の補足）
• 「2 次正則行列・回転行列・直交射影」（単位行列から）
• 「3次行列式と外積」（MSF2025第3章から）
• 「3次行列式」(No. 1) ・ 「3次行列式」（No.2)
• 「逆行列のクラメールの公式」
• 「3次行列式のアルゴリズム」 （L02の最後で説明済）

練習問題と解答 ・ 問と答

演習問題 「3次行列式（確認問題）」 ・ 解答 ・ 「3次行列式（演習問題）」 ・ 解答

Lec 01 06/05

内容 (i) 2次行列式の性質をまとめます． (ii) 2次正方行列の具体例を学んだ後に正則性について考えます． (iii) 3次元実列ベクトルの外積について補足します． (iv) 3次行列式について学びます．

キーワード準備中

資料　

• 2 次元部分空間・2 平面の交わり・ベクトル積（2次行列式の部分）
• 「2 次正方行列の逆行列・回転行列・直交射影」（単位行列から）
• 「3次行列式」(No. 1) ・ 「3次行列式」（No.2)

MSFの資料の補足

• 線型写像と行列の積(Ver001c) （基本行列の逆行列）
• 掃き出し法アルゴリズムV001b （タイプセット版、2025/06/25）

練習問題と解答 ・問と答

演習問題 「3次行列式（確認問題）」 ・ 解答 ・ 「3次行列式（演習問題）」 ・ 解答

MSF---Part of Linear Algebra

Lectures

Lec 07 05/29

内容 (i) 2次行列式の性質をまとめます． (ii) 線型写像（あるいは行列）が定める部分空間について考えます．． (iii) 原点を通る2平面の交わりについて考えて、3次元列ベクトルの外積を定義します。2次元部分空間に対して，その座標・座標変換について学びます．

キーワード　2次行列式，2次元部分空間とその座標，ベクトル積

資料　

• 独自資料集第5章「行列の演算について」 資料集 （演習問題が中に入っています。）
• 第5章の演習（ビデオ解説付き） 確認問題 ・解答, 演習問題 ・解答, テキスト演習問題 ・解答
• 線型写像と行列の積(V001b,0507Typeset版）
• （参考） 「行列の積」 ・ 「行列の積の結合則」 （サイズの小さい場合の説明が記述してあります。参考にしてください。）
• ・「2次行列式」
• 2 次元部分空間・2 平面の交わり・ベクトル積
• 独自資料集第3章 座標空間と数ベクトル テキスト ・行列式とクラメールの公式の確認問題 ・解答 ・章末問題・演習問題（ビデオ解説付）（解答はテキストの中にあります）
• 「2 次正方行列の逆行列・回転行列・直交射影」
• 独自資料集第4章 「2次元の座標変換、2次正方行列、2次形式」 テキスト, 章末問題・演習問題（ビデオ解説付）, 解答 補足演習問題（第3章・第4章）, 補足問題解答（第4章）

追加資料(05/28)

• ハンドアウト「L06小テスト解説の補足＋線型写像の補足」
• 外積について（加筆版）

Lec 06 05/22

内容 (i)ベクトルの平行（非平行）と小行列式の関係について学んだ後に，2次行列式の性質をまとめます． (ii) 線型写像を定義して，その合成と行列の積との関係について学びます． (iii) 原点を通る2平面の交わりについて考えて、3次元列ベクトルの外積を定義します。続いて平行でない2本のベクトルが定める2次元部分空間を定めて，その座標・座標変換について学びます．

キーワード　行列の積，線型写像，2次行列式の性質，2次元部分空間とその座標，ベクトル積

資料　

• 独自資料集第5章「行列の演算について」 資料集 （演習問題が中に入っています。）
• 第5章の演習（ビデオ解説付き） 確認問題 ・解答, 演習問題 ・解答, テキスト演習問題 ・解答
• 線型写像と行列の積(V001b,0507Typeset版）
• （参考） 「行列の積」 ・ 「行列の積の結合則」 （サイズの小さい場合の説明が記述してあります。参考にしてください。）
• 平面の方程式（済） ・クラメールの公式．ベクトルの平行(2020年度V02）（最後の1ページ） ・「2次行列式」
• 2 次元部分空間・2 平面の交わり・ベクトル積
• 独自資料集第3章 座標空間と数ベクトル テキスト ・行列式とクラメールの公式の確認問題 ・解答 ・章末問題・演習問題（ビデオ解説付）（解答はテキストの中にあります）

Lec 05 05/15

内容 (i) ベクトルの1次独立性について解説します．(ii) 線型写像を定義して，その合成と行列の積との関係について学びます．(iii)平面の方程式について学んだ後で，2元連立1次方程式のクラメールの公式とベクトルの平行について学びます．

キーワード　ベクトルの1次独立性，行列の積，線型写像，2次行列式，クラメールの公式，平面の方程式

資料　

• 独自資料集第5章「行列の演算について」 資料集 （演習問題が中に入っています。）
• 第5章の演習（ビデオ解説付き） 確認問題 ・解答, 演習問題 ・解答, テキスト演習問題 ・解答
• ベクトルの1次独立性V004_507修正版（一般の場合も修正）（講義後に誤植を修正）
• 線型写像と行列の積(V001b,0507Typeset版）
• （参考） 「行列の積」 ・ 「行列の積の結合則」 （サイズの小さい場合の説明が記述してあります。参考にしてください。）
• 平面の方程式 ・クラメールの公式．ベクトルの平行(2020年度V02） ・「2次行列式」
• 独自資料集第3章 座標空間と数ベクトル テキスト ・行列式とクラメールの公式の確認問題 ・解答 ・章末問題・演習問題（ビデオ解説付）（解答はテキストの中にあります）

注意 独自資料集第2章にある多項式の割り算などはS2で解説する予定です．

講義後に追加 板書その1 ・ その2

Lec 04 05/01

内容 (i) 全単射には逆写像が存在することを示します．(ii) 複素数の極形式について解説します．(iii) 2本，3本のベクトルの1次独立性について詳しく解説します．(iv) 線型写像を定義して，その合成と行列の積との関係について学びます．

キーワード　全単射．逆写像．複素数の極形式．ベクトルの1次独立性，行列の積，線型写像

資料　

• 独自資料集第1章「 形式論理，集合，写像」 資料集・ 演習問題 （配布済・写像の残る部分（「全単射には逆写像が存在」）をL04で）
• 写像の演習問題 演習問題・補足問題・解答 ・ 補足問題解答
• 独自資料集第2章「複素数・代数学の基本定理」 ・テキスト（L04後修正版） ・演習問題・ （解答はテキストにあります）
• 「複素数」（ハンドアウト） ・ ハンドアウト「複素数」の内容のビデオ （33分以降に複素数の指数関数・対数関数の話があります）
• 独自資料集第5章「行列の演算について」 資料集 （最初のページを使います（解説済）・演習問題が中に入っています。）
• 第5章の演習（ビデオ解説付き） 確認問題 ・解答, 演習問題 ・解答, テキスト演習問題 ・解答
• ベクトルの1次独立性（2本の場合の途中から） ・V004, Typeset 版，0507修正版（一般の場合も修正）
• 線型写像と行列の積(V001b,0507Typeset版）
• （参考） 「行列の積」 ・ 「行列の積の結合則」 （サイズの小さい場合の説明が記述してあります。参考にしてください。）
• (0501 12:00に追加）補足問題（行列の掛け算No1）

Lec 03 04/24

内容 準備中

キーワード　準備中

資料　

• 独自資料集第1章「 形式論理，集合，写像」 資料集・ 演習問題 （配布済・写像の残る部分をL03で）
• 独自資料集第5章「行列の演算について」 資料集 （最初のページを使います・演習問題が中に入っています。）
• 第5章の演習（ビデオ解説付き） 確認問題 ・解答, 演習問題 ・解答, テキスト演習問題 ・ 解答
• ベクトルの1次独立性入門
• 線型写像と行列の積
• （参考） 「行列の積」 ・ 「行列の積の結合則」 （サイズの小さい場合の説明が記述してあります。参考にしてください。）

Lec 02 04/17

内容

キーワード　準備中

資料　

• 独自資料集第1章「 形式論理，集合，写像」 資料集・ 演習問題 （配布済・集合と写像に関する部分）
• 掃き出し法入門 （講義後修正版）
• 写像の演習問題 演習問題・補足問題・解答 ・ 補足問題解答
• 小テスト後補足問題 Gaussの掃き出し法演習問題

Lec 01 04/10

内容

• 論理　論理の基本的な内容を解説します。資料の5ページ程度まで読んでおいてください。
　　
• 連立方程式の基本変形　資料に沿って解説します。

キーワード　真理表・「ならば」とは・同値とは・連立方程式の同値変形

資料　

• 独自資料集第1章「 形式論理，集合，写像」 資料集・ 演習問題 （形式論理に関する部分）
• 連立方程式の同値変形 ・ 演習問題の解答 （L02で解説）