23年度,
線型代数学
Lectures
- Lec 21 01/16 3次正方行列の固有値問題（その9）・行列式
- 内容 2次曲面について残る退化した場合について学びます。 続いて3次正方行列の三角化を示してC-Hの定理を示します。さらに直交補空間と4次以上の行列式についてクラメールの公式について学びます。
- キーワード 行列の三角化とC-Hの定理・行列式・行列式の余因子展開・2次曲面・直交補空間
- Presentation 2次曲面（退化した場合） ・ 3次正方行列の三角化とCHの定理 ・ GSの直交化と直交補空間 ・ 直交補空間（続き） ・ クラメールの公式（逆行列） ・ 逆行列と正則性・クラメールの公式
- Lec 20 01/10 3次正方行列の固有値問題（その8）・行列式
- 内容 3次正方行列の三角化を示してC-Hの定理を示します。続いて4次以上の行列式について余因子展開を考えます。最後に2次曲面について学びます
- キーワード 行列の三角化とC-Hの定理・行列式・行列式の余因子展開・2次曲面
- Presentation 3次正方行列の三角化とCHの定理 ・ 3変数の2次形式の正定値性（残り） ・ 2次曲面 ・ 余因子展開 ・ GSの直交化と直交補空間 ・ 直交補空間（続き）
- Lec 19 12/27 3次正方行列の固有値問題（その7）・行列式
- 内容 3次正方行列の三角化を示してC-Hの定理を示します。続いて4次以上の行列式について普遍性を学びます。
- キーワード 行列の三角化とC-Hの定理・行列式・行列式の普遍性
- Presentation 「3次元固有値問題（その2）」（残るは三角化） ・ 3次正方行列の三角化とCHの定理 ・ 3変数の2次形式の正定値性 ・ 2次曲面 ・ 行列式の定義（線形性と普遍性） ・ 余因子展開
- Lec 18 12/20 3次正方行列の固有値問題（その6）・行列式
- 内容 3次行列の固有値問題について学びます。3次正方行列の三角化を示してC-Hの定理を示します。続いて4次以上の行列式について学びます。
- キーワード 行列の三角化とC-Hの定理・3次の回転群・順列の符号・行列式
- Presentation 「3次元固有値問題（その2）」（残るは三角化） ・ 3次正方行列の三角化とCHの定理 ・ 3次の回転行列 ・ 3変数の2次形式の正定値性 ・ 「順列の符号」（資料3、一般の場合、ハンドアウト） ・ 行列式の定義
- 演習 （2020年度のL18） 確認問題 ・ 解答 ・ 追加確認問題（IV(2),(3)は削除） ・ 解答 問題IV
- 演習 （2020年度のL17） 確認問題 ・ 解答
- 演習 （2020年度のL16） 確認問題 ・ 解答（手書き）
- Lec 17 12/13 3次正方行列の固有値問題（その5）・行列式
- 内容 3次行列の固有値問題について学びます。特に固有多項式が重根を持つ場合に対角化可能であるための条件について学びます。続いて4次以上の行列式について学びます。
- キーワード 3次行列の固有値と固有多項式・スペクトル分解（重根の場合）・行列の三角化・順列の符号
- Presentation 3次正方行列の対角化 ・ 「3次元固有値問題（その2）」（残るは三角化） ・ 3次正方行列の三角化とCHの定理 ・ 「順列の符号」（資料1） ・ 「順列の符号」（資料2）（ハンドアウト） ・ 「順列の符号」（資料3、一般の場合、ハンドアウト） ・ 行列式の定義
- 演習（2020年度のL12） 演習問題 ・ 解答
- Lec 16 12/06 3次正方行列の固有値問題（その4）
- 内容 3次行列式の固有値問題について学びます。特に固有多項式が重根を持つ場合に対角化可能であるための条件について学びます。さらに3次実対称行列の対角化について学びます。
- キーワード 3次行列の固有値と固有多項式・スペクトル分解・3次実対称行列の対角化・ 3次直交行列
- Presentation 「3次元固有値問題」 ・ 3次正方行列の対角化 ・ 「3次元固有値問題（その2）」 ・ O(3) ・ 3次実対称行列の対角化 ・3次正方行列の三角化とCHの定理 ・ 「順列の符号」（資料1） ・ 「順列の符号」（資料2）（ハンドアウト） ・ 「順列の符号」（資料3、一般の場合、ハンドアウト） ・ 行列式の定義
- 演習（2020年度のL11） 確認問題 ・ 解答 ・ 演習問題 ・ 解答
- 演習 (2020年度のL10) 確認問題 ・ 解答 ・ 演習問題 ・ 解答
- Lec 15 11/29 3次正方行列の固有値問題（その3）
- 内容 3次行列式の固有値問題について学びます。特に対角化可能な行列が満たす条件について学びます。さらに3次実対称行列の対角化について学びます。
- キーワード 3次行列の固有値と固有多項式・スペクトル分解・3次実対称行列の対角化・ 3次直交行列
- Presentation 「3次元固有値問題」 ・ 3次正方行列の対角化 ・ 「3次元固有値問題（その2）」 ・ O(3) ・ 3次実対称行列の対角化
- 演習（2020年度のL13） 確認問題 ・ 解答 ・ 演習問題 ・ 解答
- 演習 （2020年度のL14） 演習問題 ・ 解答
- 演習 （2020年度のL15） 確認問題 ・ 解答 ・ 演習問題 ・ 解答
- Lec 14 11/29 3次正方行列の固有値問題（その3）
- 内容 その後で3次行列式の固有値問題について学びます。特に対角化可能な行列が満たす条件について学びます。
- キーワード 3次行列の固有値と固有多項式・スペクトル分解
- Presentation 2次元線型空間の線型変換と固有多項式 ・ （参考：別のハンドアウト） 線型写像の$det(\cdot)$と$\Phi_F(\lambda)$ ・ 「3次元固有値問題」 ・ 3次正方行列の対角化 ・ 「3次元固有値問題（その2）」 ・ 3次行列式の別の定義（一般の行列式を目指して）
- 演習（2020年度のL12） 演習問題 ・ 解答
- Lec 13 11/08 2次正方行列の固有値問題（その6）・3次正方行列の固有値問題（その2）
- 内容 2次形式の応用として，2変数2次式の分類を行います（残るは退化した場合）．その後で3次行列式の固有値問題について学びます。．
- キーワード 2変数2次式の標準形（退化した場合），3次行列の固有値と固有多項式
- Presentation 2次元線型空間の線型変換と固有多項式 ・ （参考：別のハンドアウト） 線型写像の$det(\cdot)$と$\Phi_F(\lambda)$ ・ 2変数の2次式の分類 （退化した場合） ・ (追加）2次形式の正定値性 ・ 「3次元固有値問題」 ・ 3次正方行列の対角化 ・ 「3次元固有値問題（その2）」
- 演習(2020年度のL09) 確認問題 ・ 解答 ・ 演習問題 ・ 解答
- 演習(2020年度のL10) 確認問題 ・ 解答 ・ 演習問題 ・ 解答
- 演習（2020年度のL11） 確認問題 ・ 解答 ・ 演習問題 ・ 解答
- （参考）第8章「固有値問題入門--3次元の場合」 テキスト(v. ST107_2016/09/19a)
- （参考）第9章「回転行列・直交行列・2次形式--3次元の場合」 テキスト(v. ST107_2016/12/09a)
- Lec 12 11/01 2次正方行列の固有値問題（その5）
- 内容 2次形式の応用として，2変数2次式の分類を行います．その後に2次正方行列のJordan標準形，虚数固有値を持つ実2次正方行列の標準形について学びます．
- キーワード 2変数2次式の標準形，2次正方行列のJordan標準形，虚数固有値を持つ実2次正方行列
- Presentation 2次元線型空間の線型変換と固有多項式 ・ （参考：別のハンドアウト） 線型写像の$det(\cdot)$と$\PHi_F(\lambda)$ ・ 2次正方行列のJordan標準系」 ・ 2変数の2次式の分類 ・ 虚数固有値を持つ2次実正方行列 ・ (追加）2次形式の正定値性
- （参考）ビデオ「極値問題と対称行列の対角化」 (1), (2)
- （参考）「2 次正方行列の逆行列・回転行列・直交射影」
- Lec 11 10/25 2次正方行列の固有値問題（その4）
- 内容 2次直交行列を分類した後に対称行列の対角化の応用として2変数2次形式について学びます．．
- キーワード 対称行列の対角化，2次形式
- Presentation 2次元線型空間の線型変換と固有多項式 ・ （参考：別のハンドアウト） 線型写像の$det(\cdot)$と$\PHi_F(\lambda)$ ・ 直交行列（続きから） ・ 2次対称行列の対角化（2次形式から） ・ 2次正方行列のJordan標準系」 ・ 2変数の2次式の分類 ・ 虚数固有値を持つ2次実正方行列
- （参考）ビデオ「極値問題と対称行列の対角化」 (1), (2)
- Lec 10 10/18 2次正方行列の固有値問題（その3）
- 内容 C-Hの定理を用いて行列の累乗を計算する別の方法を解説します．その過程で行列の多項式について学びます．続いて，直交行列と対称行列の対角化について学びます．
- キーワード Cayley-Hamiltonの定理，行列の多項式，対称行列の対角化
- Presentation 2次正方行列のC-Hの定理（行列の多項式から） ・ 2次元線型空間の線型変換と固有多項式 ・ 直交行列 ・ 2次対称行列の対角化
- （参考）ハンドアウト「力学系入門」 ・ コメント付 ・ ビデオ
- （参考）ビデオ「極値問題と対称行列の対角化」 (1) ・ (2)
- Lec 09 10/11 2次正方行列の固有値問題（その2）
- 内容 固有多項式の性質や固有ベクトルの性質について学びます．C-Hの定理を用いて行列の累乗$A^n$を求めることを解説します．その過程で行列の多項式について学びます．続いて，対称行列の対角化について学びます．
- キーワード Cayley-Hamiltonの定理，行列の多項式，対称行列の対角化
- Presentation 「2次正方行列の固有値問題」（対角化の十分条件について） ・ 「なぜ対角化？（力学系）（手書き） ・ 2次正方行列のC-Hの定理 ・ 直交行列 ・ 2次対称行列の対角化
- 演習問題（2020年度L04） 演習問題(I--VIIが該当） ・ 解答前半 ・ 後半
- 演習問題 (2020年度L06) 確認問題 ・ I,II,III解答 ・ IV解答 ・ 演習問題（I,V,VIが該当） ・ 解答
- Lec 08 10/04 2次正方行列の固有値問題（その1）
- 内容 2次正方行列の固有値問題を解説して，C-Hの定理を用いて行列の累乗$A^n$を求めることを解説します．
- キーワード 固有値問題，固有値，固有ベクトル，Cayley-Hamiltonの定理
- Presentation 「2次正方行列の固有値問題」 ・ 「なぜ対角化？（力学系）（手書き） ・ 2次正方行列のC-Hの定理
- 復習用資料 「2次正方行列の正則性について」
- 演習問題 2次元固有値問題の演習 ・ 解答 （問題II(1)の解答にエラーがありますので，下のSTlin第6章の問題6.2(1)を参照してください．）
- （別系統のテキスト） 「STLIN第6章「固有値問題入門---2次元の場合」 テキスト, 演習問題, 演習問題解答（2024年10月5日に更新）
- （別系統のテキスト） 「STLIN第7章「回転行列・直交行列・2次形式---2次元の場合」 テキスト・ 演習問題・ 演習問題解答(2022/03/01修正版）・ 追加問題解答(2021/09/22版）
- Lec 07 07/19 行列の演算・転置行列・グラム行列
- 内容 引き続き、MSF2019のテキスト第5章を用いて行列の演算について学びます。転置行列の性質について解説した後でグラム行列に関する応用を解説します。
- キーワード 行列の演算・転置行列・グラム行列
- Presentation 行列の正則性（一般の場合） ・ （ハンドアウト）「正則性」（補足） ・ 「行列の演算」（続き） ・ 行列の転置 ・ 「グラム行列と直交射影」
- Lec 06 07/12 線型独立性・部分空間の次元・行列の演算・GSの直交化
- 内容 実ベクトルの内積について学び始めます。 次にL04に引き続いて、線型独立性を完全に定義して、部分空間の基底と次元について学びます。次に、MSF2019のテキスト第5章を用いて行列の演算について学びます。時間が許せば、転置行列の性質について学びます。
- キーワード ベクトルの線型独立性・部分空間の基底と次元・行列の演算・転置行列・GSの直交化
- Presentation ベクトルの内積とその応用（続き） ・ 「部分空間の基底と次元」 ・ 行列の正則性（一般の場合） ・ 「行列の演算」（続き） ・ 行列の転置
- Lec 05 07/05 線型独立性・部分空間の次元・行列の演算・GSの直交化
- 内容 実ベクトルの内積について学び始めます。 次にL04に引き続いて、線型独立性を完全に定義して、部分空間の基底と次元について学びます。次に、MSF2019のテキスト第5章を用いて行列の演算について学びます。時間が許せば、転置行列の性質について学びます。
- キーワード ベクトルの線型独立性・部分空間の基底と次元・行列の演算・転置行列・GSの直交化
- Presentation ベクトルの内積とその応用 ・ 「部分空間の基底と次元」 ・ 「行列の演算」 ・ 行列の転置 ・
- Lec 04 06/28 線型独立性・部分空間の次元・行列の演算
- 内容 L03で学んだ3次正方行列の正則について補足をします。次にR^4中の3次元部分空間の基底の変換と座標の変換について学びます。 （解答 ・ 補足その１ ・ 補足その2） その後に、線型独立性を完全に定義して、部分空間の基底と次元について学びます。 最後にMSF2019のテキスト第5章を用いて行列の演算について学びます。
- キーワード ベクトルの線型性・部分空間の基底と次元・・行列の演算
- Presentation ・ 「部分空間の基底と次元」 ・ 「行列の演算」
- 演習問題（2020年度L05） 確認問題 ・ 解答 ・ 演習問題 ・ 解答
- Lec 03 06/21 3次行列式の性質（逆行列の求め方）・3次正方行列の正則性など・行列の演算
- 内容 3次正方行列に対して正則性を定義して、 余因子行列による逆行列の公式について学びます．その後に ハンドアウトに従って，3次行列の正則について学びます．最後にMSF2019のテキスト第5章を用いて行列の演算について学びます。
- キーワード 余因子行列・3次行列の正則性と逆行列・3次正方行列の掃き出し法による逆行列の求めかた・行列の演算
- Presentation ・ ハンドアウト「3次行列式の正則性」（特に最後のページ） ・ 「逆行列のクラメールの公式」 ・ （参考）行列式の定義 (1)—3 次の場合に復習と拡張 ・ 「行列の演算」
- Lec 02 06/14 3次行列式の性質・3次正方行列の正則性など
- 内容 MSFで教えられなかった3次行列式の性質，すなわち行列の積の行列式，連立1次方程式のクラメールの公式，余因子行列による逆行列の公式について学びます．その後に ハンドアウトに従って，3次行列の正則について学びます．
- キーワード 3次行列の積の行列式・3変数のクラメールの公式・余因子行列・3次行列の正則性と逆行列・3次正方行列の掃き出し法による逆行列の求めかた
- Presentation 「3次行列式」 （No.1)(16Pから） ・ 「3次行列式」(No.2) ・ 「逆行列のクラメールの公式」 ・ （参考）行列式の定義 (1)—3 次の場合に復習と拡張
- 演習問題 （2020年度L04）確認問題 ・ 解答 前半 ・ 後半 ・ 演習問題 ・ 解答前半 ・ 後半
- 行列の演算については下の「第5章」を使います．
- MSF2019第5章「行列の演算について」 テキスト , 確認問題 ・解答, 演習問題 ・解答, テキスト演習問題 ・ 解答
- Lec 01 06/07 行列の積・3次行列式の性質・3次正方行列の正則性など
- 内容 行列の積について少し拡張します．またMSFで教えられなかった3次行列式の性質，すなわち行列の積の行列式，連立1次方程式のクラメールの公式，余因子行列による逆行列の公式について学びます．その後に ハンドアウトに従って，3次行列の正則について学びます．
- キーワード 3次行列の積の行列式・3変数のクラメールの公式・余因子行列・3次行列の正則性と逆行列・3次正方行列の掃き出し法による逆行列の求めかた
- Presentation 「行列の積（その1）」（ハンドアウト, V02 0609版） 「3次行列式」 （No.1)(16Pから） ・ 「3次行列式」(No.2) ・ 「逆行列のクラメールの公式」 ・ （参考）行列式の定義 (1)—3 次の場合に復習と拡張
- 演習問題 「3次行列式（確認問題）」 ・ 解答 ・ 「3次行列式（演習問題）」 ・ 解答 ・ 掃き出し法演習問題
MSF---Part of Linear Algebra
Lectures
- Lec 01 04/05 形式論理，集合，写像
- 内容 第1章のP1からP9（直積集合の前まで）を解説
- キーワード 形式論理，かつ，または，否定，ならば，すべての，ある，集合の包含関係，集合の共通部分，集合の交わり
- ・テキスト(2024年度V01） ・演習問題 （解答はテキスト中にあります）
- Lec 02 04/19 形式論理，集合，写像・複素数
- 内容 第1章のP9の差集合・直積集合からP14までを解説， 「複素数」については第2章を解説
- キーワード差集合・直積集合・写像・写像の像と逆像
- （積み残し）写像が全単射であるならば，その逆写像が存在すること。
- （参考） ハンドアウト「複素数」
- 演習問題 ・写像に関する練習問題 （解答）・ 写像に関する補充問題（解答付き）
- （参考） ハンドアウト「複素数」の内容のビデオ （33分以降に複素数の指数関数・対数関数の話があります）
- 第2章「複素数・代数学の基本定理」
- ・テキスト ・演習問題・ （解答はテキストにあります）
- Lec 03 04/26 多項式の性質，クラメールの公式，ベクトルの平行
- 内容 （逆写像に関する積み残しを解説した後で）独自テキスト第2章を用いて「多項式」について学びます．次に「平面の方程式」，「クラメールの公式とベクトルの平行」（クラメールの公式まで）について学びます．
- キーワード多項式の割り算・ユークリッドの互除法・平面の方程式・クラメールの公式・ベクトルの平行
- Presentation 平面の方程式 ・クラメールの公式．ベクトルの平行(2020年度V02） ・「2次行列式」
- ・「多項式」については 第2章のテキストをもとに講義します．
- 第3章 座標空間と数ベクトル
- テキスト, 行列式とクラメールの公式の確認問題, 解答, 章末問題・演習問題（ビデオ解説付）（解答はテキストの中にあります）
- テキスト「3次行列式」（第3章の補足）, 補足演習問題（第3章・第4章）（解答はテキストの中ににあります）
- Lec 04 05/03 ベクトルの平行・2次元部分空間の基底と座標・2次行列式
- 内容 まず最初に連立方程式の基本変形について学びます（ ハンドアウトを用います）．次に2元連立1次の斉次方程式に非自明解が存在する必要十分条件を係数行列式で表します．．このことを用いて2本のベクトルが平行・非平行である必要十分条件を行列式を用いて表します．原点を通る2平面の交わりについて考えて、3次元列ベクトルの外積を定義します。続いて平行でない2本のベクトルが定める2次元部分空間を定めて，その座標・座標変換について学びます．
- キーワード 連立1次方程式の基本変形・ベクトルの平行・3次元列ベクトルの外積・2次元部分空間とその座標変換
- Presentation 「クラメールの公式．ベクトルの平行」(2020年度V02）(P7から） ・ 「2 次元部分空間・2 平面の交わり・ベクトル積」 ・ 「2次行列式」
- ハンドアウト 「連立方程式の同値変形」（V03講義後修正版 ・ 「掃き出し法入門」（V03,講義後修正版）
- 第4章 2次元の座標変換、2次正方行列、2次形式
- テキスト, 章末問題・演習問題（ビデオ解説付）, 解答
- 補足演習問題（第3章・第4章）, 補足問題解答（第4章）
- Lec 05 05/10 ベクトルの平行・2次元部分空間の基底と座標・2次行列式
- 内容 前回学んだ斉次方程式に非自明解が存在するための必要十分条件を用いて2本のベクトルが平行・非平行である必要十分条件を行列式を用いて表します．原点を通る2平面の交わりについて考えて、3次元列ベクトルの外積を定義します。続いて平行でない2本のベクトルが定める2次元部分空間を定めて，その座標・座標変換について学びます．
- キーワード ベクトルの平行・3次元列ベクトルの外積・2次元部分空間とその座標変換
- Presentation 「クラメールの公式．ベクトルの平行」(2020年度V02）(P11から） ・ 「2 次元部分空間・2 平面の交わり・ベクトル積」 ・ 「2次元部分空間」 ・ 「2 次正方行列の逆行列・回転行列・直交射影」 ・ 「2次行列式」
- ハンドアウト 線型独立性
- 演習問題 掃き出し法の演習問題
- 第4章 2次元の座標変換、2次正方行列、2次形式
- テキスト, 章末問題・演習問題（ビデオ解説付）, 解答
- 補足演習問題（第3章・第4章）, 補足問題解答（第4章）
- Lec 06 05/15 ビデオ講義 2次行列式・3次行列式
- 内容2次行列式と3次行列式の基本的な性質について解説します。特に列と行の性質について解説します。
- キーワード 行列式の定義・行列式の多重線形性・行列式の交代性・3次行列式の列に関する展開
- Presentation 「2 次元部分空間・2 平面の交わり・ベクトル積」（Part 3の2次行列式の部分） ・ 「3変数の行列式」(No. 1）
- ビデオ
- 演習問題 「3次行列式（確認問題）」 ・ 解答 ・ 「3次行列式（演習問題）」 ・ 解答
- Lec 0[78] 05/24 3次行列式とベクトル積・2次正方行列とその正則性・3本のベクトルの線型独立性・2次元部分空間
- 内容 (i)3変数の行列式の幾何学的な意味を理解するために，3変数行列式とベクトル積の関係について学びます．(ii) 2次正方行列の積を定義して，逆行列の存在について学びます．(iii) 3本のベクトルの線型独立性について，L05に続き学びます．ここでは行基本変形との関係についても学びます．（実はその部分が後に正方行列の正則性について一般的に考えるのに役にたちます．）(iv) 2次元部分空間は2本の平行でない列ベクトルで張られる（生成される）ベクトルの全体ですが，基底の変換と座標の変換の関係について学びます．
- キーワード 3次行列式の幾何学的意味・3次行列式とベクトル積・2次正方行列とその正則性・3本のベクトルの線型独立性・線型独立性と行基本変形・・2次元部分空間とその座標変換
- Presentation ・「3次行列式とベクトル積」 ・ 「2 次元部分空間・2 平面の交わり・ベクトル積」（Part 04から） ・ 「2 次正方行列の逆行列・回転行列・直交射影」（回転行列の前まで） ・ （「3本のベクトルの線型独立性」（L05で説明済み）） ・ 「3本のベクトルの線型独立性（続き）」 ・ （「3本の2次元列ベクトルの線型従属性」（続き）） ・ 「2次元部分空間（続）」