微分積分演習（2024年度）

第1講義04/10

2024/04/10 第1講 演習問題

I以下の差分方程式を解きましょう。

(1) $ \left\{ \begin{array}{lcl} a_{n+1}&=&3a_n-2\\ a_0&=&\alpha \end{array} \right. $

(2) $ \left\{ \begin{array}{lcl} a_{n+1}&=&-\frac 12a_n+1\\ a_0&=&\alpha \end{array} \right. $

(3) $ \left\{ \begin{array}{l} a_{n+2}-a_{n+1}-2a_n=0\\ a_0=\alpha,\ a_1=\beta \end{array} \right. $

(4) $ \left\{ \begin{array}{l} a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n=0\\ a_0=\alpha,\ a_1=\beta \end{array} \right. $

(5) $ \left\{ \begin{array}{l} a_{n+2}+6a_{n+1}+9a_n=0\\ a_0=\alpha,\ a_1=\beta \end{array} \right. $

(6) $ \left\{ \begin{array}{l} a_{n+2}-a_{n+1}+\frac 14a_n=0\\ a_0=\alpha,\ a_1=\beta \end{array} \right. $

II

(1) 講義中 $$ {}_nC_k=\frac {n!}{(n-k)!k!} $$ を用いて $$ k\cdot {}_nC_k=n\cdot {}_{n-1}C_{k-1} $$ を示しました.$n$個の違いのない白玉から$1$個と$(k-1)$個を選んで,$1$個の方を赤 く塗り,$(k-1)$個の方に黒く塗る組み合わせの数としてこの等式を説明しましょ う.

(2)(1)と同様に $$ {}_kC_2\cdot {}_nC_k= {}_nC_2\cdot {}_{n-2}C_{k-2} $$ を示しましょう.

III

$(x+y)^5$を展開しましょう。

IV

以下の組み合わせの数を求めましょう。
(1) ${}_5C_2$ (2) ${}_5C_3$ (3) ${}_6C_1$ (4) ${}_7C_2$ (5) ${}_8C_3$