数理科学基礎第1章章末問題・演習問題(2022年)
章末問題
- I
-
集合$X$の部分集合$A,B\subset X$に対して以下を示しましょう。
\begin{equation}
\text{(i) }A\subset B
\Leftrightarrow
\text{(ii) }A=A\cap B
\Leftrightarrow
\text{(iii) }
B=A\cup B
\end{equation}
- 解答ビデオ
- II
-
集合$X$の部分集合$A,B,C\subset X$に対して以下を示しましょう。
\begin{equation}
(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)
\end{equation}
- 解答ビデオ
- III
-
命題$P, Q, R$に対して以下の合同式を示しましょう。
\begin{equation}
(P\wedge Q)\vee R\equiv (P\vee R)\wedge(Q\vee R)
\end{equation}
\begin{equation}
(P\vee Q)\wedge R\equiv (P\wedge R)\vee(Q\wedge R)
\end{equation}
- 解答ビデオ
- IV
-
集合$X$の部分集合$A,B,C\subset X$に対して以下を示しましょう。
\begin{equation}
A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)
\end{equation}
\begin{equation}
(A\setminus B)\setminus C=A\setminus (B\cup C)
\end{equation}
\begin{equation}
(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)
\end{equation}
- 解答ビデオ
- V
- 写像$f:\ X\rightarrow Y$が与えられているとき，
$X$の部分集合$A,B\subset X$に対して以下を示しましょう．
\begin{equation}
f(A\cup B)=f(A)\cup f(B),\quad
f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)
\end{equation}
- 解答ビデオ
- VI
- 写像$f:\ X\rightarrow Y$と$g:\ Y\rightarrow Z$が与えられているとき，
以下を示しましょう．
-
(1) $f$, $g$ が全射ならば$g\circ f$も全射となる。
-
(2) $f$, $g$ が単射ならば$g\circ f$も単射となる。
-
(3) $g\circ f$ が全射ならば$g$も全射となる。
-
(4) $g\circ f$ が単射ならば$f$も単射となる。
- [解答ビデオ]
（(1),(2),(3)）
- [解答ビデオ]
（(1)'）
- [解答ビデオ](Ver. 2018)
- VII
-
写像$f:\ X\rightarrow Y$が与えらているとします．$Y$の部分集合$B$に対して
$X$の部分集合
\begin{equation*}
f^{-1}(B):=
\{x\in X;\ f(x)\in B\}
\end{equation*}
を定義します（$B$の$f$による逆像と呼びます）．このとき
$Y$の部分集合$B_1$, $B_2$に対して
以下を示しましょう．
- (1)
\begin{equation*}
f^{-1}(B_1\cup B_2)=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)
\end{equation*}
- (2)
\begin{equation*}
f^{-1}(B_1\cap B_2)=f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)
\end{equation*}
- 解答ビデオ
演習問題
- 演習問題1.1
-
次の同値式を示しましょう．
\begin{equation}\label{eq:equiv001}
(P_1\Leftrightarrow P_2) \equiv
\left(
(P_1\Rightarrow P_2) \wedge
(P_2\Rightarrow P_1) \right)
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:equiv002}
\neg(P_1\wedge P_2) \equiv
\left(
\neg(P_1)\vee \neg(P_2)
\right)
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:equiv003}
\neg(P_1\vee P_2) \equiv
\left(
\neg(P_1)\wedge \neg(P_2)
\right)
\end{equation}
- 解答ビデオ
- 演習問題1.2
-
以下の(1.4),(1.5),(1.6),(1.7)を証明しましょう．
\begin{equation}\label{eq:equiv004}
\text{（交換則）}\qquad
P\wedge Q\equiv Q\wedge P,\quad
P\vee Q\equiv Q\vee P
\tag{1.4}
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:equiv005}
\text{（結合則）}\qquad
\left(P\wedge Q\right)\wedge R\equiv
P\wedge\left(Q\wedge R\right),\quad
\left(P\vee Q\right)\vee R\equiv
P\vee\left(Q\vee R\right)
\tag{1.5}
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:equiv006}
\text{（分配則）}\qquad
\left(P\wedge Q\right)\vee R\
\equiv\
\left(P\vee R\right)\wedge\left(Q\vee R\right)
\tag{1.6}
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:equiv007}
\text{（分配則）}\qquad
\left(P\vee Q\right)\wedge R\
\equiv\
\left(P\wedge R\right)\vee\left(Q\wedge R\right)
\tag{1.7}
\end{equation}
- 解答ビデオ
- 演習問題1.3
-
以下の(1.8)を証明しましょう．
\begin{equation}\label{eq:equiv008}
\text{（2重否定の法則）}\quad \lnot(\lnot(P))\equiv P
\tag{1.8}
\end{equation}
- 解答ビデオ
- 演習問題1.4
-
論理式
$P\Rightarrow (P\vee Q)$
がトートロジーであることを示しましょう．
- 解答ビデオ
- 演習問題1.5
- 以下の(1.13), (1.15)がトートロジーであることを示しましょう．
\begin{equation}\label{eq:tautology5000e}
\text{（同一律）}\quad P\Rightarrow P
\tag{1.13}
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:tautology5000g}
\text{（矛盾律）}\quad \lnot\left(P\land \lnot(P)\right)
\tag{1.15}
\end{equation}
- 解答ビデオ
- 演習問題1.6
-
\begin{equation}\label{eq:tautology50010a}
\left(
\left(
P\Rightarrow
\left(
Q\Rightarrow R
\right)
\right)
\land
\left(
P\Rightarrow Q
\right)
\right)
\Rightarrow
\left(P\Rightarrow R\right)
\end{equation}
がトートロジーであることを示しましょう．
- 解答ビデオ
- 演習問題1.7
-
真理表を用いて以下の(1.21)を証明しましょう．
\begin{equation}\label{eq:tautology5001}
\left(
(P\Rightarrow Q) \land (Q\Rightarrow R)
\right)
\Rightarrow (P\Rightarrow R)
\tag{1.21}
\end{equation}
- 解答ビデオ
- 演習問題1.8
-
以下の(1.27)を証明しましょう．
\begin{equation}\label{bunpai02}
(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)
\tag{1.27}
\end{equation}
- 解答ビデオ（章末問題II）
- 演習問題1.9
-
以下の(1.34)を証明しましょう．
\begin{equation}\label{eq:set20021b}
A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)
\tag{1.34}
\end{equation}
-
- 解答ビデオ
（章末問題IV）
- 演習問題1.10
-
$A,A_1,A_2$, $B,B_1,B_2$は集合$X$の部分集合とします．以下を示しましょう．
\begin{equation*}
A_1\subset A_2\quad\text{ならば}\quad
A_1\setminus B\subset A_2\setminus B
\end{equation*}
\begin{equation*}
B_1\subset B_2\quad\text{ならば}\quad
A\setminus B_2\subset A\setminus B_1
\end{equation*}
- 演習問題1.11
-
$A$, $B$が集合$X$の部分集合であるとき，
以下の(1.37),(1.38),(1.39)を証明しましょう．
\begin{equation}\label{compliment01a}
A\cap A^c=\emptyset,\quad A\cup A^c=X
\tag{1.38}
\end{equation}
\begin{equation}\label{compliment01b}
\left(A^c\right)^c=A
\tag{1.39}
\end{equation}
\begin{equation}\label{compliment01c}
A\subset B\quad\text{ならば}\quad
B^c\subset A^c
\tag{1.40}
\end{equation}
- 演習問題1.12
-
集合$X,Y,Z,W$と写像
\begin{equation*}
f:\ X\rightarrow Y,\quad
g:\ Y\rightarrow Z,\quad
h:\ Z\rightarrow W
\end{equation*}
があるとき
\begin{equation}\label{eq:ketugousoku01}
(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)
\end{equation}
が成立することを示しましょう．
- 解答ビデオ
- 演習問題1.13
-
\begin{equation}\label{tautology_forall02}
\left(
\forall x\in X \left(P(x)\right)
\right)
\lor
\left(
\forall x\in X \left(Q(x)\right)
\right)
\Rightarrow
\forall x\in X \left(P(x)\lor Q(x)\right)
\tag{1.40}
\end{equation}
の逆，すなわち
\begin{equation*}
\forall x\in X \left(P(x)\lor Q(x)\right)
\Rightarrow
\left(
\forall x\in X \left(P(x)\right)
\right)
\lor
\left(
\forall x\in X \left(Q(x)\right)
\right)
\end{equation*}
が成立しないことを示しましょう．
- 解答ビデオ
- 演習問題1.14
-
同値式
\begin{equation*}
\exists x\in X
\left(
P(x)\Rightarrow Q(x)
\right)
\equiv
\left(
\forall x\in X
\left(P(x)\right)
\right)
\Rightarrow
\left(
\exists x\in X
\left(Q(x)\right)
\right)
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- 解答ビデオ
- 演習問題1.15
-
\begin{equation}\label{tautology_forsome02}
\exists x\in X
\left(
P(x)\land Q(x)
\right)
\Rightarrow
\left(
\exists x\in X \left(P(x)\right)
\right)
\land
\left(
\exists x\in X \left(Q(x)\right)
\right)
\tag{1.42}
\end{equation}
の対偶が真であることを(1.40)を用いて示しましょう．
- 解答ビデオ
- 演習問題1.16
-
\begin{equation*}
\forall x\in X\left(P(x)\Rightarrow Q(x)\right)
\Rightarrow
\left(
\left(
\forall x\in X\left(P(x)\right)
\right)
\Rightarrow
\left(
\forall x\in X\left(Q(x)\right)
\right)
\right)
\end{equation*}
がトートロジーであることを示しましょう．
- 解答ビデオ
- 演習問題1.17
-
\begin{equation*}
\forall x\in X\left(P(x)\Rightarrow Q(x)\right)
\Rightarrow
\left(
\left(
\exists x\in X\left(P(x)\right)
\right)
\Rightarrow
\left(
\exists x\in X\left(Q(x)\right)
\right)
\right)
\end{equation*}
がトートロジーであることを示しましょう．
- 解答ビデオ
- 演習問題1.18
-
$X=Y=\{1,2,3,4,5\}$とします．以下の命題の真偽値を求めましょう．
- (1)
$\forall x\in X\forall y\in Y(x^2+y<20)$
- (2)
$\forall x\in X\exists y\in Y(x^2+y<20)$
- (3)
$\exists x\in X\forall y\in Y(x^2+y<20)$
- (4)
$\exists x\in X\exists y\in Y(x^2+y<20)$
- 解答ビデオ
- 演習問題1.19
演習問題1.16の各命題の否定を求めましょう．
- 解答ビデオ