経済数学入門、演習問題(SL02, 2022年04月18日）
- I
-
次の行列の積を計算しましょう．
(1)
$\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\beta&-\sin\beta\\
\sin\beta&\cos\beta
\end{pmatrix}
$
(2)
$\begin{pmatrix}
\cos\alpha&\sin\alpha\\
\sin\alpha&-\cos\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\alpha&\sin\alpha\\
\sin\alpha&-\cos\alpha
\end{pmatrix}
$
(7)
$\begin{pmatrix}
1&\lambda\\
0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&\mu\\
0&1
\end{pmatrix}
$
(8)
$\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
$
(9)
$\begin{pmatrix}
a_1&b_1\\
a_2&b_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&\lambda\\
0&1
\end{pmatrix}
$
(10)
$\begin{pmatrix}
a_1&b_1\\
a_2&b_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\lambda&0\\
0&1
\end{pmatrix}
$
(11)
$\begin{pmatrix}
a_1&b_1\\
a_2&b_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
$
- 解答ビデオ(1)+(2)
・
解答ビデオ(3)--(11)
- II
-
$\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{R}^n$とします．以下を計算しましょう。
(1)
$\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\beta&-\sin\beta\\
\sin\beta&\cos\beta
\end{pmatrix}
$
(2)
$\begin{pmatrix}
\cos\alpha&\sin\alpha\\
\sin\alpha&-\cos\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\alpha&\sin\alpha\\
\sin\alpha&-\cos\alpha
\end{pmatrix}
$
(3)
$\begin{pmatrix}
1&\lambda\\
0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
$
(4)
$\begin{pmatrix}
1&0\\
\lambda&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
$
(5)
$\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
$
(6)
$(\vec a\ \vec b)
\begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix}$,
(7)
$(\vec a\ \vec b)
\begin{pmatrix}
0&1\\1&0
\end{pmatrix}$,
(8)
$(\vec a\ \vec b\ \vec c)
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}$,
(9)
$(\vec a\ \vec b\ \vec c)
\begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&0\\
1&0&0
\end{pmatrix}$,
(10)
$(\vec a\ \vec b\ \vec c)
\begin{pmatrix}
\lambda&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}$,
(11)
$(\vec a\ \vec b\ \vec c)
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&\lambda&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}$,
(12)
$(\vec a\ \vec b\ \vec c)
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&\lambda
\end{pmatrix}$,
- III
次の曲面の$\mathrm{P}_0$における接平面を求めましょう．
-
(1)
$z=xy-2x+2y-1$ at $\mathrm{P}_0(0,0,-1)$
(2)
$z=\frac x{x+y}$ at $\mathrm{P}_0(1,-2,-1)$
(3)
$z=x^2-xy+2y^2$ at $\mathrm{P}_0(2,1,4)$
(4)
$z=\frac y{1+x^2}$ at $\mathrm{P}_0(0,0,0)$
(2)と(4)では1変数の微分の公式
$$
\left(
\frac gf
\right)'
=\frac {g'f-gf'}{f^2}
$$
を用いましょう．
- IV
-
クラメールの公式を用いて
$$
\left\{
\begin{array}{lcl}
x+y-z&=&1\\
2x-y+z&=&-1
\end{array}
\right.
$$
を満たす$(x,y,z)$に対して$x,y$を$z$で表しましょう．
- V
-
資本$K$, 労働力$L$の投入に対する生産関数
\begin{equation*}
Q=F(K,L)=9K^{\frac 13}L^{\frac 23}
\end{equation*}
を考えます．
- (1)
$K=216$ and $L=10^3$に対する生産量$Q$を求めましょう．
- (2)
$(K,L)=(216,10^3)$
のときの資本の限界生産物MPKと労働の限界生産物MPLを求めて，
$F(216,998)$ と $F(217.5,10^3)$ の近似値を求めましょう．
- VI
次の$3$点$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$
を通る平面の方程式を求めましょう．
-
(1)
$\mathrm{A}(0,0,0)$, $\mathrm{B}(1,2,3)$,
$\mathrm{C}(4,5,6)$
-
(2)
$\mathrm{A}(2,0,0)$, $\mathrm{B}(0,3,0)$,
$\mathrm{C}(0,0,4)$
-
(3)
$\mathrm{A}(1,2,3)$, $\mathrm{B}(-1,-1,0)$,
$\mathrm{C}(2,-3,5)$
- VII
-
Cobb-Douglas型生産関数
\begin{equation}
Q=F(K,L)=4K^{\frac 34}L^{\frac 14}
\end{equation}
に対して
$F(10^4+100,625+(-15))$の近似値を
$K=10^4,\ L=625$におけるMPK,MPLを用いて求めましょう．電卓でも計算してみましょう．