経済数学入門演習問題(第08講義, 2021年11月29日)

I
(1) $\vec p_1,\vec p_2,\vec p_3\in\mathbf{R}^n$が正規直交系であることと ${}^tPP=I_3$を満たすこととが必要十分であることを示しましょう.
(2) $\vec p_1,\vec p_2,\vec p_3\in\mathbf{R}^n$が正規直交系であると します.$3$次正方行列$R$に対して \begin{equation*} (\vec q_1\ \vec q_2\ \vec q_3)= (\vec p_1\ \vec p_2\ \vec p_3)R \end{equation*} として$\vec q_j\in\mathbf{R}^n\ (j=1,2,3)$を定めると \begin{equation*} R\ \text{が直交行列}\ \Leftrightarrow\ \vec q_1,\vec q_2,\vec q_3\ \text{が正規直交系} \end{equation*} であることを示しましょう.
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II
(1) $ \begin{pmatrix} \alpha&0&0\\ 0&p&q\\ 0&r&s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta&0&0\\ 0&x&y\\ 0&z&w \end{pmatrix} $ を計算して$A,B\in M_2(\mathbf{R})$に対して $ \left( \begin{array}{cc} \alpha& \begin{array}{cc} 0&0 \end{array}\\ \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} &A \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \beta& \begin{array}{cc} 0&0 \end{array}\\ \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} &B \end{array} \right) $ を求めましょう.
(2) $ {}^t \begin{pmatrix} \alpha&0&0\\ 0&p&q\\ 0&r&s \end{pmatrix} $ を計算して $A\in M_2(\mathbf{R})$に対して $ {}^t \left( \begin{array}{cc} \alpha& \begin{array}{cc} 0&0 \end{array}\\ \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} &A \end{array} \right) $ を求めましょう.
(3) $2$次正方行列$R\in M_2(\mathbf{R}$が回転行列(より一般には 直交行列)とします.このとき $ \left( \begin{array}{cc} 1& \begin{array}{cc} 0&0 \end{array}\\ \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} &R \end{array} \right) $ が直交行列であることを示しましょう.
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III
$A\in M_3(\mathbf{R})$が対称とします.
(1) $A\vec v=\alpha\vec v$, $(\vec v,\vec w)=0$ならば $(\vec v,A\vec w)=0$が$\vec v,\vec w\in\mathbf{R}^3$, $\alpha\in\mathbf{R}$に対して成立することを示しましょう.
(2) $\vec q_1,\vec q_2,\vec q_3\in\mathbf{R}^3$が正規直交系とします. $A\vec q_1=\alpha\vec q_1$が成立するとき \begin{equation*} A(\vec q_1\ \vec q_2\ \vec q_3) = (\vec q_1\ \vec q_2\ \vec q_3) \begin{pmatrix} \alpha&0&0\\ 0&a&c\\ 0&c&b \end{pmatrix} \end{equation*} と$a,b,c\in\mathbf{R}$を用いて表されることを示しましょう.
解答ビデオ
IV
$A\in M_3(\mathbf{R})$が対称とします.
(1) \begin{equation*} \left( A \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \right)\geq 0 \quad \left( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in\mathbf{R}^3 \right) \Leftrightarrow A\text{の固有値}\alpha,\beta,\gamma\geq 0 \end{equation*} であることを示しましょう.
(2) \begin{equation*} \left( A \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \right)\geq 0 \quad \left( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in\mathbf{R}^3 \right) \end{equation*} ならば \begin{equation*} a_{11},a_{22},a_{33}\geq 0,\quad |A_2|\geq 0,\quad |A|\geq 0 \end{equation*} が成立することを示しましょう.
解答ビデオ
V
以下の2次形式が正定値となる$a\in\mathbf{R}$の条件を求めましょう.
(1) $x^2+3y^2+2z^2+2axy+4axz+2yz$
(2) $x^2+y^2+z^2+2a(xy+yz+zx)$
解答ビデオ(1), (2)
VI
以下では、実対称行列$A\in M_2(\mathbf{R})$ に対して \begin{eqnarray*} (A\vec x,\vec x)\geq 0 (\vec x\in \mathbf{R}^2)&\Leftrightarrow& A \text{の固有値}\alpha,\beta\geq 0\\ &\Leftrightarrow& A=\begin{pmatrix} a&c\\c&b\end{pmatrix}\text{のとき} a,b\geq 0,|A|\geq 0 \end{eqnarray*} であることを用います。$m\times 2$行列$B=(\vec a\ \vec b)$に対し て不等式 $$ |(\vec a,\vec b)| \leq ||\vec a||\cdot ||\vec b|| $$ が成立することを示しましょう。さらに不等式の等号成立条件を求めましょう。
[解答ビデオ]
VII
$\mathbf{R}^4$の部分空間 $$ V:= \left\{ \begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix};\ \left( \begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\1\\1\\-1\end{pmatrix} \right)=0 \right\} $$ を定めます。そして$V$の基底を $$ \vec q_1= \left(\begin{smallmatrix}1\\0\\0\\1\end{smallmatrix}\right),\quad \vec q_2= \left(\begin{smallmatrix}0\\1\\0\\1\end{smallmatrix}\right),\quad \vec q_3= \left(\begin{smallmatrix}0\\0\\1\\1\end{smallmatrix}\right),\quad $$ と取ります。
(1) $V_2=\mathbf{R}\vec q_1+\mathbf{R}\vec q_2$の正規直交基底基底を求めましょう。
(2) $\vec q_2$の$V_2$への直交射影を求めて、$V$の正規直交基底を求めましょう。
[解答ビデオ](1)(2)
VIII
$\vec q_1:=\frac 1{\sqrt 3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$とします。 $$ V:=\{\vec v\in \mathbf{R}^3;\ (\vec v,\vec q_1)=0\} $$ と2次元の部分空間を定めます。このとき$\vec x\in\mathbf{R}^3$の$V$への正射影$P\vec x$は $$ P\vec x\in V,\quad \vec x-P\vec x\perp \vec q_1 $$ で定まります。
(1) $P$を行列で表しましょう。
(2)$V$に関する鏡映 $$ Q\vec x=\vec x+2(P\vec x-\vec x) $$ で定まる$Q$を行列で表しましょう。
[解答ビデオ(1)][解答ビデオ(2)]
IX
3次の直交群 $$ O(3):=\{P\in M_3(\mathbf{R});\ {}^tPP=P{}^tP=I_3\} $$ に対して以下を示しましょう。
(1)$P_1, P_2\in O(3)$ならば$P_1P_2\in O(3)$を示しましょう。
(2)$P\in O(3)$ならば${}^tP\in O(3)$を示しましょう。
[解答ビデオ]
X
$A= \left( \begin{smallmatrix} -1&1&2\\ 1&-1&2\\ -2&-2&2 \end{smallmatrix} \right) $ に対して$\mathrm{tr}(A^5)$を求めましょう.
[解答ビデオ]
XI
$A= \left( \begin{smallmatrix} 2&1&3\\ 1&6&1\\ 3&1&2 \end{smallmatrix} \right) $ が定める2次形式が,正定値,非負定値,負定値,非正定値であるか考えましょう.
解答ビデオ
XII
$A= \left( \begin{smallmatrix} 3&2&2\\ 2&1&3\\ 2&3&1 \end{smallmatrix} \right) $ が定める2次形式が,正定値,非負定値,負定値,非正定値であるか考えましょう.
[解答ビデオ]
解答ビデオ
XIII
実対称行列$A\in M_{n}(\mathbf{R})$について以下を考えます.
$\alpha\in\mathbf{C}$に対して条件 \begin{equation*} A\vec{v}=\alpha\vec{v},\quad \vec{v}\not=\vec{0} \end{equation*} を満たす複素ベクトル$\vec{v}\in\mathbf{C}^n$が 存在すると仮定します.
(1) $\vec{v}= \left( \begin{smallmatrix} v_1\\\vdots\\v_n \end{smallmatrix} \right) $に対して複素共役を $\vec{w}= \left( \begin{smallmatrix} \bar{v}_1\\\vdots\\\bar{v}_n \end{smallmatrix} \right) $と定めると \begin{equation} {}^t\vec{w}A=\bar{\alpha}{}^t\vec{w} \tag{i} \end{equation} が成立することを導きましょう.
(2) $(i)$の両辺に右から$\vec{v}$を掛けて$\alpha\in\mathbf{R}$であることを 示しましょう.
解答ビデオ
XIV
$\alpha,\beta,\gamma\in\mathbf{R}$に対して \begin{equation*} \alpha+\beta+\gamma\geq 0,\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\geq 0,\ \alpha\beta\gamma\geq 0 \Rightarrow \alpha,\beta,\gamma\geq 0 \end{equation*} を示しましょう.
解答ビデオ
XV
3次の実対称行列 $A= \left( \begin{smallmatrix} a&p&q\\ p&b&r\\ q&r&c \end{smallmatrix} \right) $ が条件 \begin{equation*} a,b,c\geq 0 \end{equation*} \begin{equation*} \left| \begin{smallmatrix} a&p\\ p&b \end{smallmatrix} \right|,\ \left| \begin{smallmatrix} a&q\\ q&c \end{smallmatrix} \right|,\ \left| \begin{smallmatrix} b&r\\ r&c \end{smallmatrix} \right|\geq 0 \end{equation*} \begin{equation*} |A|\geq 0 \end{equation*} を満たすとき $A$の固有値$\alpha,\beta,\gamma$が \begin{equation*} \alpha,\beta,\gamma\geq 0 \end{equation*} が成立することを示しましょう.
解答ビデオ
XVI
$V,W$が$\mathbf{K}^n$の部分空間とします.$V+W$が 直和ならば \begin{equation*} \dim(V\oplus W)=\dim V+\dim W \end{equation*} であることを証明しましょう.
[解答ビデオ]
XVII
$A\in M_n(\mathbf{R})$が対称とします。
(1) $F$を$n\times \ell$行列とするとき $$ B={}^tFAF $$ が対称であることを示しましょう。
(2)$A$が定める2次形式が非負定値とします。すなわち $$ (A\vec v,\vec v)\geq 0 $$ が成立するとします。このとき$B$が定める2次形式も非負定値となることを示しましょう。
(3)$A$が定める2次形式が正定値とします。また $$F=(\vec f_1\ \cdots \vec f_{\ell})$$ と列ベクトル表示をするとき$\vec f_1,\dots,\vec f_{\ell}$は1次独立とします。このとき$B$が定める2次形式も正定値となることを示しましょう。
[解答ビデオ]
XVIII
$A\in M_{m,n}(\mathbf{R})$とします。すなわち、実$m\times n$行列とします。このとき$\mathbf{R}^n$中で $$ \mathrm{ker}({}^tAA)=\mathrm{ker}(A) $$ が成立することを示しましょう。
[解答ビデオ]
IXX
(1) $R= \frac 19 \begin{pmatrix} 4&-4&7\\ 8&1&-4\\ 1&8&4 \end{pmatrix}\in SO(3) $ で \begin{equation*} \ker(R-I_3)= \mathbf{R} \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix} \end{equation*} $ であることを示せ.
(2) $\vec p_1= \frac 13 \begin{pmatrix} 2\\1\\2 \end{pmatrix} $ である $P=(\vec p_1\ \vec p_2\ \vec p_3)$である$P\in SO(3)$ を求めて$P^{-1}RP$を計算しましょう.
[解答ビデオ]
XX
$\vec p_1= \frac 13 \begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix} $ である $P=(\vec p_1\ \vec p_2\ \vec p_3)$である$P\in SO(3)$ を求めましょう.
解説ビデオ
XXI
単位ベクトル $\vec q_1=\frac 1{\sqrt 3} \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} $ とします.部分空間$\mathbf{R}\vec q_1$の直交補空間 \begin{equation*} V =\left(\mathbf{R}\vec q_1\right)^\perp =\{\vec v\in\mathbf{R}^3;\ (\vec v,\vec q_1)=0\} \end{equation*} に関する鏡映$Q$を \begin{equation*} Q\vec x=\vec x+2(P\vec x-\vec x) \end{equation*} によって定義します.ただし,ここで$P$は$V$への直交射影とします.
(1) Qを行列として表しましょう.
(2) $|Q|$を求めましょう.
(3) $Q$を直交行列で対角化しましょう.
[参考ビデオNo.1][参考ビデオNo.2]