経済数学入門演習問題(第08講義, 2021年11月29日）
- I
- (1)
$\vec p_1,\vec p_2,\vec p_3\in\mathbf{R}^n$が正規直交系であることと
${}^tPP=I_3$を満たすこととが必要十分であることを示しましょう．
- (2)
$\vec p_1,\vec p_2,\vec p_3\in\mathbf{R}^n$が正規直交系であると
します．$3$次正方行列$R$に対して
\begin{equation*}
(\vec q_1\ \vec q_2\ \vec q_3)=
(\vec p_1\ \vec p_2\ \vec p_3)R
\end{equation*}
として$\vec q_j\in\mathbf{R}^n\ (j=1,2,3)$を定めると
\begin{equation*}
R\ \text{が直交行列}\ \Leftrightarrow\
\vec q_1,\vec q_2,\vec q_3\ \text{が正規直交系}
\end{equation*}
であることを示しましょう．
- 解答ビデオ
- II
- (1)
$
\begin{pmatrix}
\alpha&0&0\\
0&p&q\\
0&r&s
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\beta&0&0\\
0&x&y\\
0&z&w
\end{pmatrix}
$
を計算して$A,B\in M_2(\mathbf{R})$に対して
$
\left(
\begin{array}{cc}
\alpha&
\begin{array}{cc}
0&0
\end{array}\\
\begin{array}{c}
0\\0
\end{array}
&A
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{cc}
\beta&
\begin{array}{cc}
0&0
\end{array}\\
\begin{array}{c}
0\\0
\end{array}
&B
\end{array}
\right)
$
を求めましょう．
- (2)
$
{}^t
\begin{pmatrix}
\alpha&0&0\\
0&p&q\\
0&r&s
\end{pmatrix}
$
を計算して
$A\in M_2(\mathbf{R})$に対して
$
{}^t
\left(
\begin{array}{cc}
\alpha&
\begin{array}{cc}
0&0
\end{array}\\
\begin{array}{c}
0\\0
\end{array}
&A
\end{array}
\right)
$
を求めましょう．
- (3)
$2$次正方行列$R\in M_2(\mathbf{R}$が回転行列（より一般には
直交行列）とします．このとき
$
\left(
\begin{array}{cc}
1&
\begin{array}{cc}
0&0
\end{array}\\
\begin{array}{c}
0\\0
\end{array}
&R
\end{array}
\right)
$
が直交行列であることを示しましょう．
- 解答ビデオ
- III
- $A\in M_3(\mathbf{R})$が対称とします．
- (1)
$A\vec v=\alpha\vec v$, $(\vec v,\vec w)=0$ならば
$(\vec v,A\vec w)=0$が$\vec v,\vec w\in\mathbf{R}^3$,
$\alpha\in\mathbf{R}$に対して成立することを示しましょう．
- (2)
$\vec q_1,\vec q_2,\vec q_3\in\mathbf{R}^3$が正規直交系とします．
$A\vec q_1=\alpha\vec q_1$が成立するとき
\begin{equation*}
A(\vec q_1\ \vec q_2\ \vec q_3)
=
(\vec q_1\ \vec q_2\ \vec q_3)
\begin{pmatrix}
\alpha&0&0\\
0&a&c\\
0&c&b
\end{pmatrix}
\end{equation*}
と$a,b,c\in\mathbf{R}$を用いて表されることを示しましょう．
- 解答ビデオ
- IV
- $A\in M_3(\mathbf{R})$が対称とします．
- (1)
\begin{equation*}
\left(
A
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
\right)\geq 0
\quad
\left(
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
\in\mathbf{R}^3
\right)
\Leftrightarrow
A\text{の固有値}\alpha,\beta,\gamma\geq 0
\end{equation*}
であることを示しましょう．
- (2)
\begin{equation*}
\left(
A
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
\right)\geq 0
\quad
\left(
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
\in\mathbf{R}^3
\right)
\end{equation*}
ならば
\begin{equation*}
a_{11},a_{22},a_{33}\geq 0,\quad
|A_2|\geq 0,\quad |A|\geq 0
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- 解答ビデオ
- V
- 以下の2次形式が正定値となる$a\in\mathbf{R}$の条件を求めましょう．
- (1)
$x^2+3y^2+2z^2+2axy+4axz+2yz$
- (2)
$x^2+y^2+z^2+2a(xy+yz+zx)$
- 解答ビデオ(1),
(2)
- VI
-
以下では、実対称行列$A\in M_2(\mathbf{R})$
に対して
\begin{eqnarray*}
(A\vec x,\vec x)\geq 0 (\vec x\in \mathbf{R}^2)&\Leftrightarrow& A
\text{の固有値}\alpha,\beta\geq 0\\
&\Leftrightarrow& A=\begin{pmatrix} a&c\\c&b\end{pmatrix}\text{のとき} a,b\geq 0,|A|\geq 0
\end{eqnarray*}
であることを用います。$m\times 2$行列$B=(\vec a\ \vec b)$に対し
て不等式
$$
|(\vec a,\vec b)|
\leq ||\vec a||\cdot ||\vec b||
$$
が成立することを示しましょう。さらに不等式の等号成立条件を求めましょう。
- [解答ビデオ]
- VII
- $\mathbf{R}^4$の部分空間
$$
V:=
\left\{
\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix};\
\left(
\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\1\\1\\-1\end{pmatrix}
\right)=0
\right\}
$$
を定めます。そして$V$の基底を
$$
\vec q_1=
\left(\begin{smallmatrix}1\\0\\0\\1\end{smallmatrix}\right),\quad
\vec q_2=
\left(\begin{smallmatrix}0\\1\\0\\1\end{smallmatrix}\right),\quad
\vec q_3=
\left(\begin{smallmatrix}0\\0\\1\\1\end{smallmatrix}\right),\quad
$$
と取ります。
- (1) $V_2=\mathbf{R}\vec q_1+\mathbf{R}\vec q_2$の正規直交基底基底を求めましょう。
- (2) $\vec q_2$の$V_2$への直交射影を求めて、$V$の正規直交基底を求めましょう。
- [解答ビデオ](1)・(2)
- VIII
- $\vec q_1:=\frac 1{\sqrt 3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$とします。
$$
V:=\{\vec v\in \mathbf{R}^3;\ (\vec v,\vec q_1)=0\}
$$
と2次元の部分空間を定めます。このとき$\vec x\in\mathbf{R}^3$の$V$への正射影$P\vec x$は
$$
P\vec x\in V,\quad \vec x-P\vec x\perp \vec q_1
$$
で定まります。
- (1) $P$を行列で表しましょう。
- (2)$V$に関する鏡映
$$
Q\vec x=\vec x+2(P\vec x-\vec x)
$$
で定まる$Q$を行列で表しましょう。
- [解答ビデオ(1)]
・
[解答ビデオ(2)]
- IX
- 3次の直交群
$$
O(3):=\{P\in M_3(\mathbf{R});\ {}^tPP=P{}^tP=I_3\}
$$
に対して以下を示しましょう。
- (1)$P_1, P_2\in O(3)$ならば$P_1P_2\in O(3)$を示しましょう。
- (2)$P\in O(3)$ならば${}^tP\in O(3)$を示しましょう。
- [解答ビデオ]
- X
-
$A=
\left(
\begin{smallmatrix}
-1&1&2\\
1&-1&2\\
-2&-2&2
\end{smallmatrix}
\right)
$
に対して$\mathrm{tr}(A^5)$を求めましょう．
- [解答ビデオ]
- XI
-
$A=
\left(
\begin{smallmatrix}
2&1&3\\
1&6&1\\
3&1&2
\end{smallmatrix}
\right)
$
が定める2次形式が，正定値，非負定値，負定値，非正定値であるか考えましょう．
- 解答ビデオ
- XII
-
$A=
\left(
\begin{smallmatrix}
3&2&2\\
2&1&3\\
2&3&1
\end{smallmatrix}
\right)
$
が定める2次形式が，正定値，非負定値，負定値，非正定値であるか考えましょう．
- [解答ビデオ]
- 解答ビデオ
- XIII
-
- 実対称行列$A\in M_{n}(\mathbf{R})$について以下を考えます．
- $\alpha\in\mathbf{C}$に対して条件
\begin{equation*}
A\vec{v}=\alpha\vec{v},\quad
\vec{v}\not=\vec{0}
\end{equation*}
を満たす複素ベクトル$\vec{v}\in\mathbf{C}^n$が
存在すると仮定します．
- (1)
$\vec{v}=
\left(
\begin{smallmatrix}
v_1\\\vdots\\v_n
\end{smallmatrix}
\right)
$に対して複素共役を
$\vec{w}=
\left(
\begin{smallmatrix}
\bar{v}_1\\\vdots\\\bar{v}_n
\end{smallmatrix}
\right)
$と定めると
\begin{equation}
{}^t\vec{w}A=\bar{\alpha}{}^t\vec{w}
\tag{i}
\end{equation}
が成立することを導きましょう．
- (2)
$(i)$の両辺に右から$\vec{v}$を掛けて$\alpha\in\mathbf{R}$であることを
示しましょう．
- 解答ビデオ
- XIV
-
- $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbf{R}$に対して
\begin{equation*}
\alpha+\beta+\gamma\geq 0,\
\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha\geq 0,\
\alpha\beta\gamma\geq 0
\Rightarrow \alpha,\beta,\gamma\geq 0
\end{equation*}
を示しましょう．
- 解答ビデオ
- XV
-
- 3次の実対称行列
$A=
\left(
\begin{smallmatrix}
a&p&q\\
p&b&r\\
q&r&c
\end{smallmatrix}
\right)
$
が条件
\begin{equation*}
a,b,c\geq 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
\left|
\begin{smallmatrix}
a&p\\
p&b
\end{smallmatrix}
\right|,\
\left|
\begin{smallmatrix}
a&q\\
q&c
\end{smallmatrix}
\right|,\
\left|
\begin{smallmatrix}
b&r\\
r&c
\end{smallmatrix}
\right|\geq 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
|A|\geq 0
\end{equation*}
を満たすとき
$A$の固有値$\alpha,\beta,\gamma$が
\begin{equation*}
\alpha,\beta,\gamma\geq 0
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- 解答ビデオ
- XVI
- $V,W$が$\mathbf{K}^n$の部分空間とします．$V+W$が
直和ならば
\begin{equation*}
\dim(V\oplus W)=\dim V+\dim W
\end{equation*}
であることを証明しましょう．
- [解答ビデオ]
- XVII
- $A\in M_n(\mathbf{R})$が対称とします。
- (1) $F$を$n\times \ell$行列とするとき
$$
B={}^tFAF
$$
が対称であることを示しましょう。
- (2)$A$が定める2次形式が非負定値とします。すなわち
$$
(A\vec v,\vec v)\geq 0
$$
が成立するとします。このとき$B$が定める2次形式も非負定値となることを示しましょう。
- (3)$A$が定める2次形式が正定値とします。また
$$F=(\vec f_1\ \cdots \vec f_{\ell})$$
と列ベクトル表示をするとき$\vec f_1,\dots,\vec f_{\ell}$は1次独立とします。このとき$B$が定める2次形式も正定値となることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- XVIII
- $A\in M_{m,n}(\mathbf{R})$とします。すなわち、実$m\times n$行列とします。このとき$\mathbf{R}^n$中で
$$
\mathrm{ker}({}^tAA)=\mathrm{ker}(A)
$$
が成立することを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- IXX
- (1)
$R=
\frac 19
\begin{pmatrix}
4&-4&7\\
8&1&-4\\
1&8&4
\end{pmatrix}\in SO(3)
$
で
\begin{equation*}
\ker(R-I_3)=
\mathbf{R}
\begin{pmatrix}
2\\1\\2
\end{pmatrix}
\end{equation*}
$
であることを示せ．
- (2)
$\vec p_1=
\frac 13
\begin{pmatrix}
2\\1\\2
\end{pmatrix}
$
である
$P=(\vec p_1\ \vec p_2\ \vec p_3)$である$P\in SO(3)$
を求めて$P^{-1}RP$を計算しましょう．
- [解答ビデオ]
- XX
-
$\vec p_1=
\frac 13
\begin{pmatrix}
1\\2\\2
\end{pmatrix}
$
である
$P=(\vec p_1\ \vec p_2\ \vec p_3)$である$P\in SO(3)$
を求めましょう．
- 解説ビデオ
- XXI
-
単位ベクトル
$\vec q_1=\frac 1{\sqrt 3}
\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}
$
とします．部分空間$\mathbf{R}\vec q_1$の直交補空間
\begin{equation*}
V
=\left(\mathbf{R}\vec q_1\right)^\perp
=\{\vec v\in\mathbf{R}^3;\
(\vec v,\vec q_1)=0\}
\end{equation*}
に関する鏡映$Q$を
\begin{equation*}
Q\vec x=\vec x+2(P\vec x-\vec x)
\end{equation*}
によって定義します．ただし，ここで$P$は$V$への直交射影とします．
- (1)
Qを行列として表しましょう．
- (2)
$|Q|$を求めましょう．
- (3)
$Q$を直交行列で対角化しましょう．
- [参考ビデオNo.1]
・
[参考ビデオNo.2]