経済数学入門演習問題 WL06 2021/11/08
- I
$
\left(
\begin{smallmatrix}
a\\b\\c
\end{smallmatrix}
\right)
\not=\vec 0
$
とします．$(x,y,z)$が
\begin{equation*}
ax+by+cz+d=0
\end{equation*}
上を動くとき
\begin{equation*}
f(x,y,z)=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2
\end{equation*}
の最小値が
\begin{equation*}
d=\frac {(ax_0+by_0+cz_0+d)^2}{a^2+b^2+c^2}
\end{equation*}
となることを示しましょう．ここでは幾何的に考えましょう．
- II
- $g(x,y,z)=0$の下で$w=f(x,y,z)$の極値問題を考えましょう．停留点を求めるだけで十分です．
- (1)
\begin{equation*}
g(x,y,z)=x+y+z-1=0\quad\text{の下で}w=f(x,y,z)=xyz
\end{equation*}
- (2)
\begin{equation*}
g(x,y,z)=x^4+y^4+z^4-1=0\quad\text{の下で}w=f(x,y,z)=x+y+z
\end{equation*}
- (3)
\begin{equation*}
g(x,y,z)=x-2y+3z-1=0\quad\text{の下で}w=f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
\end{equation*}
- III
- 次の曲面の$\mathrm{P}_0$における接平面を求めましょう．
- (1)
\begin{equation*}
g(x,y,z)=x^2+4y^2+9z^2-17=0\quad\text{ at }\mathrm{P}_0(2,-1,1)
\end{equation*}
- (2)
\begin{equation*}
g(x,y,z)=x^2-4y^2+9z^2-17=0\quad\text{ at }\mathrm{P}_0(1,1,-\frac 23)
\end{equation*}
- (3)
\begin{equation*}
g(x,y,z)=x^{\frac 12}y^{\frac 13}z^{\frac 14}-1=0\quad\text{ at }
\mathrm{P}_0(1,1,1)
\end{equation*}