経済数学入門演習問題（Lec 07, 2021年05月24日）

I

$f$は$\mathbf{R}$上の微分可能な関数とします．

(1) $F(x,y):=f(x^2+y^2)$と$\mathbf{R}^2$上の関数を定義します． $\nabla(F)(x,y)$を求めましょう．

(2) $y\not=0$のとき $G(x,y):=f(\frac xy)$を定義します． $\nabla(G)(x,y)$を求めましょう．

II

(1) $f(x,y,z)=e^x+e^{2y}+e^{3z}$とします．$\nabla(f)(0,0,0)$を求めましょう．

(2) $g(x,y,z)=e^{x+2y+3z}$とします．$\nabla(g)(0,0,0)$を求めましょう．

III

$f$の$\mathrm{P}_0$における$\vec{v}$方向の微分 $D_{\vec{v}}(f)(\mathrm{P}_0)$を求めましょう．

(1) $f(x,y)=x+2y-1$ at $\mathrm{P}_0(1,2)$ in the direction $\vec{v}= \left( \begin{smallmatrix} 1\\1 \end{smallmatrix} \right)$

(2) $f(x,y)=x^2+2xy-y^3$ at $\mathrm{P}_0(1,1)$ in the direction $\vec{v}= \left( \begin{smallmatrix} 1\\3 \end{smallmatrix} \right)$

IV （これは第8講義の問題）

$\mathbf{R}^2$の開集合$U$上で定義された関数$f(x,y)$が与えられているとします．他方$U$の中に $C^2$級の 曲線 $(x(t),y(t))$ が与えられているとします．このとき \begin{equation*} F(t):=f(x(t),y(t)) \end{equation*} を定義します．このとき \begin{equation*} F''(t):= \left( H(f)(x(t),y(t)) \left( \begin{smallmatrix} x'(t)\\y'(t) \end{smallmatrix} \right), \left( \begin{smallmatrix} x'(t)\\y'(t) \end{smallmatrix} \right) \right) + \left( \nabla(f)(x(t),y(t)), \left( \begin{smallmatrix} x''(t)\\y''(t) \end{smallmatrix} \right) \right) \end{equation*} が成立することを示しましょう．

V

第1象限 \begin{equation*} \mathbf{R}^2_{++} = \{(x,y)\in\mathbf{R}^2;\ x,y>0\} \end{equation*} の上で定義されている関数は \begin{equation*} f(tx,ty)=t^\lambda f(x,y)\quad (t>0,\ (x,y)\in \mathbf{R}^2_{++}) \end{equation*} が成立するとき $\lambda$斉次であるといいます．

(1) この状況で，さらに$f$が$\mathbf{R}^2_{++}$で$C^1$級ならば \begin{equation} xf_x(x,y)+yf_y(x,y)=\lambda f(x,y)\quad ((x,y)\in\mathbf{R}^2_{++}) \tag{EQ} \end{equation} が成立することを示しましょう．

(2) 逆に$\mathbf{R}^2$上で$C^1$級の$f$が(EQ)を満たすならば $f$は$\lambda$次斉次であることを示しましょう．