経済数学入門演習問題（Lec 06, 2021年05月17日）

I

(1) $\vec{a},\vec{b}\in\mathbf{R}^n$に対して \begin{equation*} {}^t(\vec{a}+\vec{b}) = {}^t\vec{a}+{}^t\vec{b},\quad {}^t(\lambda\vec{a})=\lambda({}^t\vec{a}) \end{equation*} が成立することを示しましょう．

(2) 2次正方行列$A,B\in M_2(\mathbf{R})$に対して \begin{equation*} {}^t(A+B) = {}^tA+{}^tB,\quad {}^t(\lambda A)=\lambda({}^tA) \end{equation*} が成立することを示しましょう．

II

$A\in M_2(\mathbf{R})$に対して \begin{equation*} \left(A\vec{v},\vec{w}\right) = \left(\vec{v},{}^tA\vec{w}\right) \quad (\vec{v},\vec{w}\in\mathbf{R}^2) \end{equation*} が成立することを用いて \begin{equation*} {}^t(AB)={}^tB{}^tA \end{equation*} を導きましょう．

III

$R_1,R_2\in M_2(\mathbf{R})$が直交行列であるとします．このとき $R_1R_2$と${}^tR_1$が直交であることを証明しましょう．

IV

$R\in M_2(\mathbf{R})$が回転行列ならば$R^{-1}={}^tR$であることを示しましょう．

V

次の行列の積を計算しましょう．（計算の意味を考えてみましょう．） \begin{equation*} \left( \begin{smallmatrix} \cos\alpha&\sin\alpha\\ -\sin\alpha&\cos\alpha \end{smallmatrix} \right) \left( \begin{smallmatrix} \cos\beta&\sin\beta\\ \sin\beta&-\cos\beta \end{smallmatrix} \right) \left( \begin{smallmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{smallmatrix} \right) \end{equation*}