経済数学入門演習問題(Lec 04, 2021年05月03日）

I

次の行列の積を求めましょう．
(1) $\begin{pmatrix} a_1&c_1\\ 0&b_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_2&c_2\\ 0&b_2 \end{pmatrix} $ (2) $\begin{pmatrix} a_1&0\\ c_1&b_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_2&0\\ c_2&b_2 \end{pmatrix} $ (3) $\begin{pmatrix} a_1&0\\ 0&b_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_2&0\\ 0&b_2 \end{pmatrix} $

II

$A$, $P$は2次正方行列とします．$P$が正則であるとき，帰納法を用いて $$ (P^{-1}AP)^n=P^{-1}A^nP $$ であることを示しましょう．

III

以下のベクトルの外積を計算しましょう．

(1) $ \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} $ (2) $ \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\1\\1 \end{pmatrix} $ (3) $ \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} $

IV

(1) $ A= \begin{pmatrix} \cos\theta&\sin\theta\\ \sin\theta&-\cos\theta \end{pmatrix} $ に対して$A^2$を求めましょう．

(2) (1) を用いて$A^{-1}$を求めましょう．

V

以下の$\vec a$, $\vec b$に対して$\vec b$の$\vec a$方向への直交射影を求めましょう．

(1) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} $, $\vec b= \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} $ (2) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\-1 \end{pmatrix} $, $\vec b= \begin{pmatrix} 1\\0\\-1\\1 \end{pmatrix} $ (3) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\-1 \end{pmatrix} $, $\vec b= \begin{pmatrix} 1\\0\\2\\1 \end{pmatrix} $

VI

$$ \vec a= \begin{pmatrix} 1\\2\\-3\\4 \end{pmatrix},\ \vec b= \begin{pmatrix} 1\\-1\\-1\\1 \end{pmatrix} $$ に対して$||\vec a-t\vec b||^2$を最小にする$t$を求めましょう．

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VII（前回の問題Vの再出題）

次の$3$点$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ を通る平面の方程式を求めましょう．

(1) $\mathrm{A}(0,0,0)$, $\mathrm{B}(1,2,3)$, $\mathrm{C}(4,5,6)$

(2) $\mathrm{A}(2,0,0)$, $\mathrm{B}(0,3,0)$, $\mathrm{C}(0,0,4)$

(3) $\mathrm{A}(1,2,3)$, $\mathrm{B}(-1,-1,0)$, $\mathrm{C}(2,-3,5)$

VIII

$\vec a\in\mathbf{R}^n$が$\vec a\not=\vec 0$を満たすとします． $c\vec a=\vec 0$ならば$c=0$となることを示しましょう．

IX

$\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{R}^n$に対して $$ ||\vec a+\vec b+\vec c||^2= ||\vec a||^2+||\vec b||^2+||\vec c||^2 +2(\vec a,\vec b)+2(\vec b,\vec c)+2(\vec a,\vec c) $$ が成立することを示しましょう．（「線型代数学」教科書13ページ、演習1.17）

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X

$\vec a\in\mathbf{R}^n$がすべての$\vec x\in\mathbf{R}^n$に対して垂直，すなわち $$ (\vec a,\vec x)=0\quad (\vec x\in\mathbf{R}^n) $$ が成立するとします．このとき$\vec a=\vec 0$となることを示しましょう． （「線型代数学」教科書13ページ、演習1.19）

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XI

$\vec f_1, \vec f_2, \vec f_3\in\mathbf{R}^n$が $$ (\vec f_i,\vec f_j)= \left\{ \begin{array}{ll} 1&(i=j)\\0&(i\not=j) \end{array} \right. $$ を満たすとします．

(1) $$ ||x\vec f_1+y\vec f_2||^2=x^2+y^2 $$ $$ ||x\vec f_1+y\vec f_2+z\vec f_3||^2=x^2+y^2+z^2 $$ を示しましょう．

(2)$\vec g\in\mathbf{R}^n$に対して $$ ||\vec g-x\vec f_1-y\vec f_2||^2=||\vec g||^2+x^2+y^2 -2x(\vec g,\vec f_1)-2y(\vec g,\vec f_2) $$ が成立することを示しましょう．

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XII

$\vec a= \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\not=\vec 0 $ とします。$\vec w$を$\vec v\in\mathbf{R}^2$の$\vec a$方向の直交射影とします。このとき $$ \vec q=\vec v+2(\vec w-\vec v)=2\vec w-\vec v $$ に対して $$ \vec q=Q\vec v $$ を満たす行列$Q$を求めましょう。さらに $$ \vec a= \begin{pmatrix} \cos\theta\\\sin\theta \end{pmatrix} $$ のとき$Q$を求めましょう。

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XIII

(1) $\vec a,\vec b\in\mathbf{R}^3$とします．$\vec a,\vec b\not=\vec 0$であるとき， $\vec a,\vec b$が作る平行四辺形の面積は $$||\vec a\times \vec b||$$ であることを示しましょう．また $$ (\vec a\times \vec b,\vec a)= (\vec a\times \vec b,\vec b)=0 $$ であることを示しましょう．

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(2) $\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{R}^3$とします．$\vec a,\vec b,\vec c\not=\vec 0$であるとき， $\vec a,\vec b,\vec c$が作る平行四面体の体積は $$|(\vec a\times \vec b,\vec c)|$$ であることを示しましょう．

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XIV

$\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{R}^3$とします．このとき $$ \vec a\times \vec b=-\vec b\times \vec a,\ \vec a\times \vec a=\vec 0 $$ $$ (\vec a+\vec b)\times \vec c= \vec a\times \vec c+\vec b\times \vec c $$ が成立することを示しましょう．

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