経済数学入門、演習問題(L03, 2021年04月26日）
- I
以下の曲線$g(x,y)=0$ の $\mathrm{P}_0$における接線を求めましょう．
-
(1)
$g(x,y)=x^2+4y^2-1=0$ at $P_0(\frac 1{\sqrt 2}, \frac 1{2\sqrt 2})$
(2)
$g(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}-1=0$ at
$P_0(1,1)$
(3)
$g(x,y)=x^2-xy+y^2-1=0$ at $P_0(0,1)$
- II
- 次の行列の逆行列を求めましょう．
(1)
$A=\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}
$
(2)
$A=\begin{pmatrix}
1&-1\\1&1
\end{pmatrix}
$
(3)
$A=\begin{pmatrix}
1&0\\\lambda&1
\end{pmatrix}
$
(4)
$A=\begin{pmatrix}
1&\lambda\\0&1
\end{pmatrix}
$
(5)
$A=\begin{pmatrix}
1&1\\1&2
\end{pmatrix}
$
(6)
$A=\begin{pmatrix}
1&2\\3&4
\end{pmatrix}
$
(7)
$A=\begin{pmatrix}
2&5\\1&3
\end{pmatrix}
$
- 解答ビデオ(1)--(4)
- III
- 以下の計算をしましょう．
- (i)
$
\begin{pmatrix}
2&-1\\-1&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1&2\\3&1
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
2&-1\\-1&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2&-1\\-1&2
\end{pmatrix}
$
- (ii)
$
\begin{pmatrix}
1&2\\1&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2&1\\3&2
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
1&2\\1&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3&1\\2&2
\end{pmatrix}
$
(iii)
$
\begin{pmatrix}
2&1\\3&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&2\\1&2
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
1&2\\1&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3&1\\2&2
\end{pmatrix}
$
- IV
- 以下の等式を満たす$2$次正方行列$X$を求めましょう．
- (i)
$
\begin{pmatrix}
1&2\\-2&1
\end{pmatrix}
X=
\begin{pmatrix}
3&4\\5&6
\end{pmatrix}
$
(ii)
$
X
\begin{pmatrix}
3&4\\5&6
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&2\\-2&1
\end{pmatrix}
$
- V
- 2次正方行列$A$, $B$が正則であるとします．このとき
$AB$と$A^{-1}$が正則であることを示しましょう．
- VI
- 2次正方行列$A=(\vec a_1\ \vec a_2)$が
$$
A\vec x=\vec 0\quad (\vec x\in\mathbf{R}^2)
$$
を満たすとします．このとき$A=O_2$となることを示しましょう．
Hint:標準単位ベクトル
$
\begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0\\1
\end{pmatrix}
$
を$\vec x$として考えましょう．
- VII
-
$g(x,y)=x^2-y^2-1=0$をその上の点$(2,\sqrt 3)$の近傍で解いて
\begin{equation}
\varphi(x)=\sqrt{x^2-1}
\end{equation}
とします．$\varphi'(2)$を$g$の1階の偏微分係数を用いて求めましょう．
- VIII
-
ある工場が非熟練労働$x$時間，熟練労働$y$時間を使ってある生産物を
\begin{equation*}
Q=F(x,y)=60x^{\frac 23}y^{\frac 13}
\end{equation*}
単位生産していて，現在$x=64$, $y=27$となっているとします．
- (1) 現在の生産量を求めましょう．
- (2) どの方向に$(x,y)$を変化させれば$Q$が最も増加するでしょうか？
- (3) 熟練労働を1.5時間増加させるが，生産レベルを保つとします．非熟練労働はどのように変化させることになるか近似値を求めましょう．
- IX
-
曲線$g(x,y):=x^2-xy+y^2-1$を$(1,1)$の近傍で解いた
\begin{equation*}
y=\varphi(x)=\frac {x+\sqrt{4-3x^2}}{2}
\end{equation*}
に対して$\varphi'(1)$を$g$の1階の偏微分係数を用いて求めましょう．