MSF2020 L05 05/29 演習問題
- I
- 以下の関数$f(x,y)$が$\Delta{f}:=f_{xx}+f_{yy}=0$
を満たすことを示しましょう．
- (1)
$f(x,y)=\log \sqrt{x^2+y^2}\quad ((x,y)\not=(0,0))$
- (2)
$f(x,y)=\tan^{-1}\frac yx\quad (x\not=0)$
- II
-
$\mathbf{R}^2$の開集合$U$上で
$C^2$級の$z=f(x,y)$に対して
\begin{equation*}
F(r,\theta):=f(r\cos\theta,r\sin\theta)\quad
((r\cos\theta,r\sin\theta)\in U, r>0)
\end{equation*}
を定義します（極座標変換)．このとき
\begin{equation*}
\Delta z:=z_{xx}+z_{yy}=z_{rr}+\frac 1r z_r+\frac 1{r^2}z_{\theta\theta}
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- 解説ビデオ
- III
- 問題IIの状況で
\begin{equation*}
\left(z_x\right)^2+\left(z_y\right)^2
=
\left(z_r\right)^2+\frac 1{r^2}\left(z_\theta\right)^2
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- IV
-
$\mathbf{R}^2$の開集合$U$上で定義された関数$f(x,y)$が与えられているとします．他方$U$の中に
$C^2$級の
曲線
$(x(t),y(t))$
が与えられているとします．このとき
\begin{equation*}
F(t):=f(x(t),y(t))
\end{equation*}
を定義します．このとき
\begin{equation*}
F''(t):=
\left(
H(f)(x(t),y(t))
\left(
\begin{smallmatrix}
x'(t)\\y'(t)
\end{smallmatrix}
\right),
\left(
\begin{smallmatrix}
x'(t)\\y'(t)
\end{smallmatrix}
\right)
\right)
+
\left(
\nabla(f)(x(t),y(t)),
\left(
\begin{smallmatrix}
x''(t)\\y''(t)
\end{smallmatrix}
\right)
\right)
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- V
-
理想気体の状態方程式は
\begin{equation*}
pV=RT
\end{equation*}
である．ここで$p$は圧力，$V$は体積，$T$は温度，$R$は気体定数です．
状態方程式の下で
$p=\frac {RT}V$, $V=\frac {RT}p$, $T=\frac {pV}R$と3個の変量
$p,V,T$はそれぞれ他の変量の関数となることに注意します．ここで
エントロピーを
\begin{equation*}
S:=a\log T+R\log V+b
\end{equation*}
によって定数$a,b$を用いて定義します．このとき
\begin{equation*}
\left(
\frac{\partial S}{\partial V}
\right)_T
=
\left(
\frac{\partial p}{\partial T}
\right)_V,\quad
\left(
\frac{\partial S}{\partial p}
\right)_T
=
-\left(
\frac{\partial V}{\partial T}
\right)_p
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．ここで
$
\left(
\frac{\partial S}{\partial V}
\right)_T
$
は$S$を$V,T$の関数と考えて$V$で偏微分するという記号です．
- VI 以下の函数の停留点を求めて極大・極小を判定しましょう．
- (1) $z=x^2+xy+y^2-4x-8y$
- (2) $z=x^3+y^3-9xy+27$
- (3) $z=x^2+xy-y^2-4x-2y$
- (4) $z=x^2+4xy+2y^2-6x-8y$
- (5) $z=x^3-xy-y^2$
- (6) $z=e^{-x^2-y^2}(2x^2+y^2)$
- (7) $z=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)$
- (8) $z=x^3+y^3+6xy$
- VII
- 第1象限
\begin{equation*}
\mathbf{R}^2_{++}
=
\{(x,y)\in\mathbf{R}^2;\ x,y>0\}
\end{equation*}
の上で定義されている関数は
\begin{equation*}
f(tx,ty)=t^\lambda f(x,y)\quad
(t>0,\ (x,y)\in \mathbf{R}^2_{++})
\end{equation*}
が成立するとき
$\lambda$斉次であるといいます．
- (1)
この状況で，さらに$f$が$\mathbf{R}^2_{++}$で$C^1$級ならば
\begin{equation}
xf_x(x,y)+yf_y(x,y)=\lambda f(x,y)\quad
((x,y)\in\mathbf{R}^2_{++})
\tag{EQ}
\end{equation}
が成立することを示しましょう．
- (2)
逆に$\mathbf{R}^2$上で$C^1$級の$f$が(EQ)を満たすならば
$f$は$\lambda$次斉次であることを示しましょう．