MSF2020 L03 05/08 演習問題

資料集の問題

資料集89ページ

確認8A,8B,8E,8F

資料集106ページ

確認9E,9D,9F

資料集139ページ

確認12A,12B,12C,12D,12E,12F

追加問題

Part 01 2次元部分空間

I $\vec{a},\vec{b}\in\mathbf{R}^n$が条件 $\vec{a}\nparallel\vec{b}$を満たすとします．

(1) $\vec{p}=3\vec{a}+\vec{b}$, $\vec{q}=\vec{a}+\vec{b}$が $\vec{p}\nparallel\vec{q}$を満たすことを示しましょう．

(2) $x\vec{a}+y\vec{b}=s\vec{p}+t\vec{q}$が成立するとき $s$, $t$を$x$, $y$で表しましょう．

Part 02 ベクトル積

II

以下のベクトルの外積を計算しましょう．

(1) $ \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2\\-1\\1 \end{pmatrix} $ (2) $ \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\1\\1 \end{pmatrix} $ (3) $ \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} $

III

(1) $\vec a,\vec b\in\mathbf{R}^3$とします．$\vec a,\vec b\not=\vec 0$であるとき， $\vec a,\vec b$が作る平行四辺形の面積は $$||\vec a\times \vec b||$$ であることを示しましょう．また $$ (\vec a\times \vec b,\vec a)= (\vec a\times \vec b,\vec b)=0 $$ であることを示しましょう． （ここでは，3次行列式を使わないで示しましょう．）

[解答ビデオ]

(2) $\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{R}^3$とします．$\vec a,\vec b,\vec c\not=\vec 0$であるとき， $\vec a,\vec b,\vec c$が作る平行四面体の体積は $$|(\vec a\times \vec b,\vec c)|$$ であることを示しましょう．

[解答ビデオ]

IV

$\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{R}^3$とします．このとき $$ \vec a\times \vec b=-\vec b\times \vec a,\ \vec a\times \vec a=\vec 0 $$ $$ (\vec a+\vec b)\times \vec c= \vec a\times \vec c+\vec b\times \vec c $$ が成立することを示しましょう．

[解答ビデオ]

Part 03 2次行列式

V

$\vec{a},\vec{b}\in\mathbf{R}^2$が平行でないとします． $\vec{a},\vec{b}$が定める平行四辺形の面積を$S$とするとき \begin{equation*} S=\left|{|\vec{a}\ \vec{b}|}\right| \end{equation*} が成立することを示しましょう．

Part 04 2次正方行列

VI

次の行列の積を計算しましょう．
(1) $\begin{pmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\beta&-\sin\beta\\ \sin\beta&\cos\beta \end{pmatrix} $ (2) $\begin{pmatrix} \cos\alpha&\sin\alpha\\ \sin\alpha&-\cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha&\sin\alpha\\ \sin\alpha&-\cos\alpha \end{pmatrix} $ (3) $\begin{pmatrix} 1&\lambda\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} $
(4) $\begin{pmatrix} 1&0\\ \lambda&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} $ (5) $\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} $ (6) $\begin{pmatrix} \lambda&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} $
(7) $\begin{pmatrix} 1&\lambda\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&\mu\\ 0&1 \end{pmatrix} $ (8) $\begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} $ (9) $\begin{pmatrix} a_1&b_1\\ a_2&b_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&\lambda\\ 0&1 \end{pmatrix} $
(10) $\begin{pmatrix} a_1&b_1\\ a_2&b_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda&0\\ 0&1 \end{pmatrix} $ (11) $\begin{pmatrix} a_1&b_1\\ a_2&b_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} $

解答ビデオ(1)+(2) ・ 解答ビデオ(3)--(11)

VII

$\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{R}^n$とします．以下を計算しましょう。
(1) $(\vec a\ \vec b) \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}$, (2) $(\vec a\ \vec b) \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}$,
(3) $(\vec a\ \vec b\ \vec c) \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}$, (4) $(\vec a\ \vec b\ \vec c) \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}$, (5) $(\vec a\ \vec b\ \vec c) \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$,
(6) $(\vec a\ \vec b) \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$, (7) $(\vec a\ \vec b) \begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}$,
(8) $(\vec a\ \vec b\ \vec c) \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$, (9) $(\vec a\ \vec b\ \vec c) \begin{pmatrix} 0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0 \end{pmatrix}$, (10) $(\vec a\ \vec b\ \vec c) \begin{pmatrix} \lambda&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$,
(11) $(\vec a\ \vec b\ \vec c) \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&\lambda&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$, (12) $(\vec a\ \vec b\ \vec c) \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&\lambda \end{pmatrix}$,

その他