経済数学入門演習問題　AL10 2020/12/14

I

$u(x,y)=x^{\frac 12}y^{\frac 12}$とします．制約条件 \begin{equation*} u(x,y)=\bar{u} \end{equation*} の下で$f(x,y)=px+qy$を考えます．停留点を求めましょう．

II

Iによって得られたHicks型（補償）需要 関数を \begin{equation*} x^*(p,q,\bar{u}),\ y^*(p,q,\bar{u}) \end{equation*} とします．最小支出関数 \begin{equation*} E(p,q,\bar{u})=px^*(p,q,\bar{u})+qy^*(p,q,\bar{u}) \end{equation*} と定めるとき，マッケンジーの補題 \begin{equation*} \frac{\partial E}{\partial p}(p,q,\bar{u})=x^*(p,q,\bar{u}) \end{equation*} \begin{equation*} \frac{\partial E}{\partial q}(p,q,\bar{u})=y^*(p,q,\bar{u}) \end{equation*} が成立することを示しましょう．

III

IIに引続き，$I-px-qy=0$の下で$u(x,y)=x^{\frac 12}y^{\frac 12}$を最大化 して需要関数 \begin{equation} x(p,q,I)=\frac I{2p},\ y(p,q,I)=\frac I{2q},\ \end{equation} を得たとします．間接効用関数を \begin{equation} v(p,q,I)=u(x(p,q,I),y(p,q,I)) \end{equation} と定めるとき，以下が成立することを具体的に計算して示しましょう．

(1) \begin{equation} x^*(p,q,\bar{u})=x(p,q,E(p,q,\bar{u})) \end{equation}

(2) \begin{equation} x(p,q,I)=x^*(p,q,v(p,q,I)) \end{equation}

(3) \begin{equation} v(p,q,E(p,q,\bar{u}))=\bar{u} \end{equation}

(4) \begin{equation} E(p,q,v(p,q,I))=I \end{equation}

IV

$u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 23}$とします．制約条件 \begin{equation*} u(x,y)=\bar{u} \end{equation*} の下で$f(x,y)=px+qy$を考えます．停留点を求めましょう．

V

IVによって得られたHicks型（補償）需要 関数を \begin{equation*} x^*(p,q,\bar{u}),\ y^*(p,q,\bar{u}) \end{equation*} とします．最小支出関数 \begin{equation*} E(p,q,\bar{u})=px^*(p,q,\bar{u})+qy^*(p,q,\bar{u}) \end{equation*} と定めるとき，マッケンジーの補題 \begin{equation*} \frac{\partial E}{\partial p}(p,q,\bar{u})=x^*(p,q,\bar{u}) \end{equation*} \begin{equation*} \frac{\partial E}{\partial q}(p,q,\bar{u})=y^*(p,q,\bar{u}) \end{equation*} が成立することを示しましょう．

VI

Vに引続き，$I-px-qy=0$の下で$u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 23}$を最大化 して需要関数 \begin{equation} x(p,q,I)=\frac I{3p},\ y(p,q,I)=\frac {2I}{3q},\ \end{equation} を得たとします．間接効用関数を \begin{equation} v(p,q,I)=u(x(p,q,I),y(p,q,I)) \end{equation} と定めるとき，以下が成立することを具体的に計算して示しましょう．

(1) \begin{equation} x^*(p,q,\bar{u})=x(p,q,E(p,q,\bar{u})) \end{equation}

(2) \begin{equation} x(p,q,I)=x^*(p,q,v(p,q,I)) \end{equation}

(3) \begin{equation} v(p,q,E(p,q,\bar{u}))=\bar{u} \end{equation}

(4) \begin{equation} E(p,q,v(p,q,I))=I \end{equation}