経済数学入門演習問題　AL09, 2020/12/07

I

$p,q,I>0$とします．効用関数 $$ u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13} $$ を制約条件 $$ I-px-qy=0 $$ の下で最大化することを考えます．

(1) 停留点を求めて $$ x(p,q,I)=\frac I{2p},\quad y(p,q,I)=\frac I{2q},\quad \lambda=\frac 13\sqrt[3]{\frac 2{pqI}} $$ であることを示しましょう．

(2) 間接効用関数 $$ v(p,q,I)=u(x(p,q,I),y(p,q,I)) $$ に対して $$ \frac{\partial v}{\partial I}=\lambda(p,q,I) $$ が成立することを示しましょう．

(3) Royの恒等式 $$ \frac{\partial v}{\partial x}+ \frac{\partial v}{\partial I}\cdot x(p,q,I)=0 $$ が成立することを示しましょう．

II

$p,q,I>0$とします．効用関数 $$ u(x,y)=\frac 13\log x+\frac 13\log y $$ を制約条件 $$ I-px-qy=0 $$ の下で最大化することを考えます．

停留点を求めて、需要関数と所得の限界効用関数$\lambda(p,q,I)$を求めましょう．

III

$p,q,I>0$とします．効用関数 $$ u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 23} $$ を制約条件 $$ I-px-qy=0 $$ の下で最大化することを考えます．

停留点を求めて、需要関数と所得の限界効用関数$\lambda(p,q,I)$を求めましょう．

IV

$p,q,I>0$とします．効用関数 $$ u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 23} $$ を制約条件 $$ I-px-qy=0 $$ の下で考えます．停留点を求めて極大点であることを示しましょう．

V

$p,q,I>0$とします．効用関数 $$ u(x,y)=\frac 13\log x+\frac 23\log y $$ を制約条件 $$ I-px-qy=0 $$ の下で考えます．停留点を求めて極大点であることを示しましょう．

VI

$u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}$とします．制約条件 \begin{equation*} u(x,y)=\bar{u} \end{equation*} の下で$f(x,y)=px+qy$を考えます．停留点を求めましょう．

VII

VIによって得られたHiggs型（補償）需要 関数を \begin{equation*} x^*(p,q,\bar{u}),\ y^*(p,q,\bar{u}) \end{equation*} とします．最小支出関数 \begin{equation*} E(p,q,\bar{u})=px^*(p,q,\bar{u})+qy^*(p,q,\bar{u}) \end{equation*} と定めるとき，マッケンジーの補題 \begin{equation*} \frac{\partial E}{\partial p}(p,q,\bar{u})=x^*(p,q,\bar{u}) \end{equation*} \begin{equation*} \frac{\partial E}{\partial q}(p,q,\bar{u})=y^*(p,q,\bar{u}) \end{equation*} が成立することを示しましょう．

VIII

VII に引続き，$I-px-qy=0$の下で$u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}$を最大化 して需要関数 \begin{equation} x(p,q,I)=\frac I{2p},\ y(p,q,I)=\frac I{2q},\ \end{equation} を得たとします．間接効用関数を \begin{equation} v(p,q,I)=u(x(p,q,I),x(p,q,I)) \end{equation} と定めるとき，以下が成立することを具体的に計算して示しましょう．

(1) \begin{equation} x^*(p,q,\bar{u})=x(p,q,E(p,q,\bar{u})) \end{equation}

(2) \begin{equation} x(p,q,I)=x^*(p,q,v(p,q,I)) \end{equation}

(3) \begin{equation} v(p,q,E(p,q,\bar{u}))=\bar{u} \end{equation}

(4) \begin{equation} E(p,q,v(p,q,I))=I \end{equation}