経済数学入門演習問題(AL08, 2020年11月30日）
- I
- $\alpha,\beta>0, A>0$を定数として
Cobb-Douglas型関数を
\begin{equation}
Y=F(K,L)=
AK^\alpha L^\beta
\end{equation}
と定義します.
- (1)
$F_{KK}$, $F_{KL}$, $F_{LK}$, $F_{LL}$を求めましょう.
- (2)
第1象限のすべての点$(K,L)\in\mathbf{R}^2_{++}$に対して
\begin{equation}
F_{KK}(K,L)<0,\ \text{かつ}\
\det(H(F)(K,L)>0
\end{equation}
を満たす$\alpha,\beta$の条件を求めましょう.
- II
- 生産関数
$$
f(x,y)=x^\alpha y^\beta\quad (\alpha,\beta>0)
$$
を考えます．
- (1)
$\det(H(f))$, $f_{xx}$を計算しましょう．
- (2)
$\alpha+\beta\not=1$のとき，利潤関数
$$
\pi(x,y):=pf(x,y)-qx-ry
$$
の停留点を求めましょう．ここでは$p,q,r>0$とします．
- (3)
$\alpha+\beta<1$のとき利潤を最大化する$(x,y)$がただ一つ存在することを示しましょう．
- III
- 生産関数
$f(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}$に対する利潤関数
$$
\pi(x,y)=pf(x,y)-qx-ry
$$
を最大化して生産要素需要関数
$$
x(p,q,r)=\frac {p^3}{27q^2r},\quad
y(p,q,r)=\frac {p^3}{27qr^2}
$$
を求めました．利潤関数
$$
\Pi(p,q,r)=\pi(x(p,q,r),y(p,q,r))
$$
生産物供給関数
$$
z(p,q,r)=f(x(p,q,r),y(p,q,r))
$$
を定義すると
\begin{align*}
z(p,q,r)&=\frac {\partial \Pi}{\partial p}\\
x(p,q,r)&=-\frac {\partial \Pi}{\partial q}\\
y(p,q,r)&=-\frac {\partial \Pi}{\partial r}
\end{align*}
が成立することを、具体的に両辺を計算することで示しましょう．
- IV
- $\alpha,\beta>0$, $\rho>0$を定数として
CES関数を
\begin{equation}
Y=F(K,L)=
\left(
\alpha K^\rho+\beta L^\rho
\right)^\frac 1{\rho}
\end{equation}
と定義します.
- (1)
$\log F(K,L)$を$K$, $L$で偏微分して$F_K(K,L)$,
$F_L(K,L)$を求めましょう.
- (2)
$F(K,L)$がEuler の等式
\begin{equation}
K\cdot F_K(K,L)+L\cdot F_L(K,L)=F(K,L)
\end{equation}
を満たすことを示しましょう.
- V
- $p,q,r>0$とします．生産関数
$$
f(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 12}
$$
に対して利潤関数
$$
\pi(x,y)=rf(x,y)-px-qy
$$
を考えます．$\pi(x,y)$の停留点を求めましょう．
- VI
-
以下の関数が第1象限$\mathbf{R}^2_{++}$上でEuler方程式を満たすことを示しましょう．
- (1) $u(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$,
(2) $u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 23}$
- VII
- $\alpha,\beta>0$, $\rho>0$を定数として
CES関数を
\begin{equation}
Y=F(K,L)=
\left(
\alpha K^\rho+\beta L^\rho
\right)^\frac 1{\rho}
\end{equation}
と定義します.
- (1)
$\log F(K,L)$を$K$, $L$で偏微分して$F_K(K,L)$,
$F_L(K,L)$を求めましょう.
- (2)
$F(K,L)$がEuler の等式
\begin{equation}
K\cdot F_K(K,L)+L\cdot F_L(K,L)=F(K,L)
\end{equation}
を満たすことを示しましょう.
- VIII
- (1)
要素需要関数$x(p,q,r)$, $y(p,q,r)$を求めた状況において
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{cccccc}
rf_x(x(p,q,r),y(p,q,r))&-&p&=&0&\cdots(1)\\
rf_y(x(p,q,r),y(p,q,r))&-&q&=&0&\cdots(2)
\end{array}
\right.
\end{equation*}
の両辺を$r$で偏微分して
$\frac{\partial x}{\partial r}$,
$\frac{\partial y}{\partial r}$
を求めましょう．
- (2)
\begin{equation*}
z(p,q,r):=f(x(p,q,r),y(p,q,r))
\end{equation*}
に対して
$\frac{\partial z}{\partial r}$
を求めて
\begin{equation*}
\frac{\partial z}{\partial r}>0
\end{equation*}
であることを示しましょう．
ここでは任意の$\mathrm{P}\in \mathbf{R}^2_{++}$に対して
$f_x(P)\not=0$または$f_y(P)\not=0$が成立することを仮定します．
- (3)
$x(p,q,r)$, $y(p,q,r)$が$0$次同次関数であることを
Euler 方程式を用いて示しましょう．
- (4)
問題II における
$x(p,q,r)$, $y(p,q,r)$の価格弾力性
を一般的に考えます．
\begin{equation*}
\epsilon_{11}+\epsilon_{12}+\epsilon_{13}=0,\quad
\epsilon_{21}+\epsilon_{22}+\epsilon_{23}=0
\end{equation*}
を示しましょう．
- IX
-
生産関数$f(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}$に対して
要素需要関数$x(p,q,r)$, $y(p,q,r)$の価格弾力性を次のように
定義します．
\begin{align*}
\epsilon_{11}&=\frac px\cdot \frac {\partial x}{\partial p}
&
\epsilon_{12}&=\frac qx\cdot \frac {\partial x}{\partial q}
&
\epsilon_{13}&=\frac rx\cdot \frac {\partial x}{\partial r}
\\
\epsilon_{21}&=\frac py\cdot \frac {\partial y}{\partial p}
&
\epsilon_{22}&=\frac qy\cdot \frac {\partial y}{\partial q}
&
\epsilon_{23}&=\frac ry\cdot \frac {\partial y}{\partial r}
\end{align*}
を計算しましょう．