経済数学入門 wL04 2020/10/26
- I
- 以下の対称行列$A$を直交行列で対角化して$A$が定める2次形式を
対応する直交座標変換で簡単にしましょう．
(1)
$A=
\begin{pmatrix}
3&-1&-2\\
-1&3&2\\
-2&2&6
\end{pmatrix}$
(2)
$A=
\begin{pmatrix}
5&4&-2\\
4&5&-2\\
-2&-2&2
\end{pmatrix}$
(3)
$A=
\begin{pmatrix}
3&-1&-1\\
-1&1&-1\\
-1&-1&3
\end{pmatrix}$
(4)
$A=
\begin{pmatrix}
3&-1&2\\
-1&6&-1\\
2&-1&3
\end{pmatrix}$
(5)
$A=
\begin{pmatrix}
4&-2&2\\
-2&1&4\\
2&4&1
\end{pmatrix}$
- 解答ビデオ
(1),
(2),
(3),
(4),
(5)
- II
- $P\in M_n(\mathbf{R})$に対して
$$
(P\vec v,P\vec w)=(\vec v,\vec w)\quad (\vec v,\vec w\in \mathbf{R}^n)
$$
と
$$
||P\vec v||=||\vec v||\quad (\vec v\in\mathbf{R}^n)
$$
が必要十分であることを証明しましょう。
- [解答ビデオ]
- III
- 3次の直交行列の全体を$O(3)$とします．
$P_1,P_2\in O(3)$ならば$P_1P_2\in O(3)$, ${}^tP_1\in O(3)$であることを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- IV
- $A\in M_3(\mathbf{R})$は対称とします。$A$が定める2次形式は正定値、すなわち
$$
(A\vec x,\vec x)>0\quad (\vec x\not=\vec 0)
$$
が成立するとします。
- (i)
$A$が正則であることを示しましょう。
- (2)
$A^{-1}$が対称であることを示しましょう。
- (3)
$A^{-1}$が定める2次形式が正定値であること、すなわち
$$
(A^{-1}\vec x,\vec x)>0\quad (\vec x\not=\vec 0)
$$
であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- [参考ビデオ]（2014年度収録）
- V
- $A\in M_{m,3}(\mathbf{R})$とします。すなわち$A$が$m\times 3$型の行列とします。$A=(\vec a\ \vec b\ \vec c)$と列ベクトル表示をします。また$B={}^tAA$と定めます。
- (i) $B$が非負定値であること、すなわち
$$
(B\vec x,\vec x)\geq 0\quad (\vec x\in \mathbf{R}^3)
$$
が成立することを示しましょう。
- (2)
$B$が正定値であることと$\vec a,\ \vec b,\ \vec c$が線型独立であることが必要十分であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VI
- $B\in M_{3}(\mathbf{R})$は
対称
とします。
- (1) $B$が非負定値であることと$B$の固有値$\alpha,\beta,\gamma$が
$$
\alpha,\beta,\gamma\geq 0
$$
であることが必要十分であることを示しましょう。
- (2) $B$が非負定値であるとき$B$が正定値であることと$\det(B)>0$が必要十分であることを示しましょう。
- [解答ビデオ]