経済数学入門演習問題 wLec 02, 2020/10/12

I

$A= \begin{pmatrix} 3&-1&-2\\ -1&3&2\\ -2&2&6 \end{pmatrix}$ を対角化しましょう。

[解答ビデオ]

II

$A= \begin{pmatrix} 6&-3&-7\\ -1&2&1\\ 5&-3&-6 \end{pmatrix}$ に対して以下を示しましょう。

(1)$\Phi_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-2)$

(2)$V(-1)\oplus V(1)\oplus V(2)=\mathbf{K}^3$

(3)各固有空間$V(\alpha)$に対して$\mathbf{K}^3$から$V(\alpha)$への射影を$A$で表しましょう。

[解答ビデオ(1)]・ [解答ビデオ(2)]・ [解答ビデオ(3)]

III

$A= \begin{pmatrix} 4&4&-2\\ 4&4&-2\\ -2&-2&1 \end{pmatrix}$ を対角化しましょう。

[解答ビデオ]

IV

$A= \begin{pmatrix} 2&1&1\\1&2&1\\1&1&2 \end{pmatrix}$ とします。

(1) $A$の固有ベクトルを求めましょう。

(2) $A$のスペクトル分解を求めましょう。すなわち$\mathbf{K}^3$を$A$の固有空間の直和に表しましょう。

(3) (2) で求めたスペクトル分解において各固有空間への射影を$A$で表しましょう。

[解答ビデオ]

V

$V_1$, $V_2$, $V_3$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。 $$ V_i\perp V_j\quad (i\not=j) $$ ならば $$ V_1\oplus V_2\oplus V_3 $$ となることを示しましょう。

[解答ビデオ]

VI

$V_1$, $V_2$は$\mathbf{K}^n$の部分空間とします。 $$ V_1\oplus V_2 $$ ならば $$ \dim(V_1\oplus V_2)=\dim V_1+\dim V_2 $$ となることを示しましょう。

VII

$V_1$, $V_2$, $V_3$は$\mathbf{K}^n$の部分空間とします。 $$ V_1\oplus V_2\oplus V_3 $$ ならば $$ \dim(V_1\oplus V_2\oplus V_3)=\dim V_1+\dim V_2+\dim V_3 $$ となることを示しましょう。

[解答ビデオ]

VIII

$A\in M_n(\mathbf{K})$が$A^2=A$を満たすとします。

(1) $\mathrm{Im}(A)\oplus \mathrm{ker}(A)$が成立することを示しましょう。

(2) $\mathbf{K}^n=\mathrm{Im}(A)\oplus \mathrm{Im}(I-A)$が成立することを示しましょう。

(3)$\mathbf{K}^n=\mathrm{Im}(A)\oplus \mathrm{ker}(A)$

[解答ビデオ] (1)・(2)・(3)

[解答ビデオ]