経済数学入門演習問題 wLec 02, 2020/10/12
- I
- $A=
\begin{pmatrix}
3&-1&-2\\
-1&3&2\\
-2&2&6
\end{pmatrix}$
を対角化しましょう。
- [解答ビデオ]
- II
-
$A=
\begin{pmatrix}
6&-3&-7\\
-1&2&1\\
5&-3&-6
\end{pmatrix}$
に対して以下を示しましょう。
- (1)$\Phi_A(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda-2)$
- (2)$V(-1)\oplus V(1)\oplus V(2)=\mathbf{K}^3$
- (3)各固有空間$V(\alpha)$に対して$\mathbf{K}^3$から$V(\alpha)$への射影を$A$で表しましょう。
- [解答ビデオ(1)]・
[解答ビデオ(2)]・
[解答ビデオ(3)]
- III
-
$A=
\begin{pmatrix}
4&4&-2\\
4&4&-2\\
-2&-2&1
\end{pmatrix}$
を対角化しましょう。
- [解答ビデオ]
- IV
- $A=
\begin{pmatrix}
2&1&1\\1&2&1\\1&1&2
\end{pmatrix}$
とします。
- (1) $A$の固有ベクトルを求めましょう。
- (2) $A$のスペクトル分解を求めましょう。すなわち$\mathbf{K}^3$を$A$の固有空間の直和に表しましょう。
- (3) (2) で求めたスペクトル分解において各固有空間への射影を$A$で表しましょう。
- [解答ビデオ]
- V
- $V_1$, $V_2$, $V_3$は$\mathbf{R}^n$の部分空間とします。
$$
V_i\perp V_j\quad (i\not=j)
$$
ならば
$$
V_1\oplus V_2\oplus V_3
$$
となることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VI
- $V_1$, $V_2$は$\mathbf{K}^n$の部分空間とします。
$$
V_1\oplus V_2
$$
ならば
$$
\dim(V_1\oplus V_2)=\dim V_1+\dim V_2
$$
となることを示しましょう。
- VII
- $V_1$, $V_2$, $V_3$は$\mathbf{K}^n$の部分空間とします。
$$
V_1\oplus V_2\oplus V_3
$$
ならば
$$
\dim(V_1\oplus V_2\oplus V_3)=\dim V_1+\dim V_2+\dim V_3
$$
となることを示しましょう。
- [解答ビデオ]
- VIII
-
$A\in M_n(\mathbf{K})$が$A^2=A$を満たすとします。
- (1) $\mathrm{Im}(A)\oplus \mathrm{ker}(A)$が成立することを示しましょう。
- (2) $\mathbf{K}^n=\mathrm{Im}(A)\oplus \mathrm{Im}(I-A)$が成立することを示しましょう。
- (3)$\mathbf{K}^n=\mathrm{Im}(A)\oplus \mathrm{ker}(A)$
- [解答ビデオ]
(1)・(2)・(3)
- [解答ビデオ]