経済数学入門演習問題 Lec 09, 2020/06/29
- I
- 次の$\vec a,\vec b,\vec c$を用いて
$$
L=L(\vec a,\vec b)
=\{x\vec a+y\vec b;\ x,y\in\mathbf{R}\}
$$
を考えます．$\vec c$の$L$への直交射影を$X=(\vec a\ \vec b)$のグラム行列
${}^tXX$を用いて求めましょう．
-
(1)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\1\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec c=
\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}$
(2)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\2\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec c=
\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}$
(3)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\0\\1\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec c=
\begin{pmatrix}
1\\0\\0\\0
\end{pmatrix}$
(4)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\0\\2\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec c=
\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\1
\end{pmatrix}$
- (3)の解答ビデオ
- II
- 以下の
$\vec a, \vec b, \vec c\in\mathbf{R}^n$に対して
$\vec a, \vec b, \vec c$が張る部分空間
$$
L_3=L(\vec a,\vec b,\vec c)
=\{x\vec a+y\vec b+z\vec c;\ x,y,z\in\mathbf{R}\}
$$
の正規直交基底を求めましょう．
-
(1)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\1\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec c=
\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}$
(2)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\2\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec c=
\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}$
(3)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\0\\1\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec c=
\begin{pmatrix}
1\\0\\0\\0
\end{pmatrix}$
(4)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\0\\2\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec c=
\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\1
\end{pmatrix}$
- III
- 以下のベクトルが線型独立か線型従属か行列の行基本変形を用いて判定しましょう．
- (i)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\-2\\1
\end{pmatrix}
$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\1\\-1
\end{pmatrix}
$,
$\vec c=
\begin{pmatrix}
7\\-4\\1
\end{pmatrix}
$
- (ii)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\2\\-3
\end{pmatrix}
$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\-3\\2
\end{pmatrix}
$,
$\vec c=
\begin{pmatrix}
2\\-1\\5
\end{pmatrix}
$
- (iii)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\-3\\7
\end{pmatrix}
$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\0\\-6
\end{pmatrix}
$,
$\vec c=
\begin{pmatrix}
3\\-1\\-1
\end{pmatrix}
$,
$\vec d=
\begin{pmatrix}
2\\4\\-5
\end{pmatrix}
$
- (iv)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
2\\-3\\7
\end{pmatrix}
$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
0\\0\\0
\end{pmatrix}
$,
$\vec c=
\begin{pmatrix}
3\\-1\\-4
\end{pmatrix}
$,
- IV
- $p,q,I>0$とします．効用関数
$$
u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}
$$
を制約条件
$$
I-px-qy=0
$$
の下で最大化することを考えます．
- (1)
停留点を求めて
$$
x(p,q,I)=\frac I{2p},\quad y(p,q,I)=\frac I{2q},\quad
\lambda=\frac 13\sqrt[3]{\frac 2{pqI}}
$$
であることを示しましょう．
- (2) 間接効用関数
$$
v(p,q,I)=u(x(p,q,I),y(p,q,I))
$$
に対して
$$
\frac{\partial v}{\partial I}=\lambda(p,q,I)
$$
が成立することを示しましょう．
- (3) Royの恒等式
$$
\frac{\partial v}{\partial x}+
\frac{\partial v}{\partial I}\cdot x(p,q,I)=0
$$
が成立することを示しましょう．
- V
- $p,q,I>0$とします．効用関数
$$
u(x,y)=\frac 13\log x+\frac 13\log y
$$
を制約条件
$$
I-px-qy=0
$$
の下で最大化することを考えます．
-
停留点を求めて、需要関数と所得の限界効用関数$\lambda(p,q,I)$を求めましょう．
- IV
- 制約条件
$$
x^2+2y^2-24=0
$$
の下で
$$z=x+y$$
の停留点を求めましょう．
- VII
- $p,q,I>0$とします．効用関数
$$
u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 23}
$$
を制約条件
$$
I-px-qy=0
$$
の下で最大化することを考えます．
-
停留点を求めて、需要関数と所得の限界効用関数$\lambda(p,q,I)$を求めましょう．
- VIII
- $g(x,y):=2x^2+y^2-1=0$の下で
$z=f(x,y)=x^2y$を考えます．停留点を求めましょう．
（CT290ページ，演習8.13）
- IX
- $x$の関数$y=\varphi(x)$が
\begin{equation*}
x^2+\varphi(x)^2-3x\varphi(x)=0
\end{equation*}
を満たしているとします．$\varphi'(x)$と$\varphi''(x)$を
$x$と$\varphi(x)$で表しましょう．
（CT294ページ，演習8.18）
- X
-
$g(x,y)=1-xy=0$の下で$z=f(x,y)=x+2y$を考えます．停留点を求めて，極大・極小を判定しましょう．
- XI
-
$g(x,y)=x^2-y^2-1=0$をその上の点$(2,\sqrt 3)$の近傍で解いて
\begin{equation}
\varphi(x)=\sqrt{x^2-1}
\end{equation}
とします．$\varphi''(2)$を$g$の1階および2階の偏微分係数を用いて求めましょう．
- XII
-
$g(x,y)=x+2y-1=0$の下で$z=f(x,y)=xy$を考えます．停留点を求めて極大・極小を判定しましょう．