経済数学入門演習問題（Lec 08, 2020年06月22日）
- I
-
以下の関数が第1象限$\mathbf{R}^2_{++}$上でEuler方程式を満たすことを示しましょう．
- (1) $u(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$,
(2) $u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 23}$
- II
- $\alpha,\beta>0$, $\rho>0$を定数として
CES関数を
\begin{equation}
Y=F(K,L)=
\left(
\alpha K^\rho+\beta L^\rho
\right)^\frac 1{\rho}
\end{equation}
と定義します.
- (1)
$\log F(K,L)$を$K$, $L$で偏微分して$F_K(K,L)$,
$F_L(K,L)$を求めましょう.
- (2)
$F(K,L)$がEuler の等式
\begin{equation}
K\cdot F_K(K,L)+L\cdot F_L(K,L)=F(K,L)
\end{equation}
を満たすことを示しましょう.
- III
-
$\mathbf{R}^2$の開集合$U$上で定義された関数$f(x,y)$が与えられているとします．他方$U$の中に
$C^2$級の
曲線
$(x(t),y(t))$
が与えられているとします．このとき
\begin{equation*}
F(t):=f(x(t),y(t))
\end{equation*}
を定義します．このとき
\begin{equation*}
F''(t):=
\left(
H(f)(x(t),y(t))
\left(
\begin{smallmatrix}
x'(t)\\y'(t)
\end{smallmatrix}
\right),
\left(
\begin{smallmatrix}
x'(t)\\y'(t)
\end{smallmatrix}
\right)
\right)
+
\left(
\nabla(f)(x(t),y(t)),
\left(
\begin{smallmatrix}
x''(t)\\y''(t)
\end{smallmatrix}
\right)
\right)
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- IV
- $\mathbf{R}^2$の開集合$U$上に関数$g(x,y)$が定義されているとします．
$\mathrm{P}_0\in U$において
\begin{equation*}
g(a,b)=0,\quad
g_y(a,b)\not=0
\end{equation*}
が成立していると仮定します．陰関数の定理によって方程式
$g(x,y)=0$が$(a,b)$の近くで
\begin{equation*}
y=\varphi(x)
\end{equation*}
と解けているとき$\varphi''(a)$を$g_*$, $g_{*\#}$で表しましょう．
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
o&g_x&g_y\\
g_x&g_{xx}&g_{xy}\\
g_y&g_{yx}&g_{yy}
\end{vmatrix}
\end{equation*}
を用いましょう．
- V
-
第1象限$\mathbf{R}^2_{++}$上に効用関数が定義されているとします．また効用のスケール変換を与える関数が開区間$I$上で定義されているとします：
\begin{equation*}
F:\ I\rightarrow \mathbf{R}
\end{equation*}
そして
\begin{equation*}
u(x,y)\in I\quad ((x,y)\in\mathbf{R}^2_{++})
\end{equation*}
\begin{equation*}
F'(t)>0\quad (t\in I)
\end{equation*}
が成立しているとします．このとき
\begin{equation*}
U(x,y):=F(u(x,y))
\end{equation*}
を定義します．
- (1)
$U_x$, $U_y$を計算して$u_y\not=0$のとき
\begin{equation*}
-\frac {U_x}{U_y}=-\frac {u_x}{u_y}
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- (2)
\begin{equation*}
u(a_1,b_1) < u(a_2,b_2)
\text{ ならば }
U(a_1,b_1) < U(a_2,b_2)
\end{equation*}
を示しましょう．
- (3)
\begin{equation*}
\begin{vmatrix}
0&U_x&U_y\\
U_x&U_{xx}&U_{xy}\\
U_y&U_{yx}&U_{yy}
\end{vmatrix}
\end{equation*}
を計算しましょう．
- VI
-
需要関数$A(p)$が
\begin{equation*}
A'(p)=-\xi \frac {A(p)}p
\end{equation*}
を満たすとします．ここで$\xi$は$p$に依らない定数とします．
このとき
\begin{equation*}
(A(p)p^{\xi})'
\end{equation*}
を計算して$A(p)$を求めましょう．これは弾力性一定の需要関数を求める議論です．
- VII
-
$a\in\mathbf{R}$とします．$0$を含む開区間$I$上で定義された関数$f$が
\begin{equation*}
f'(t)=a f(t)
\end{equation*}
を満たすとします．
このとき
\begin{equation*}
(f(t)e^{-at})'
\end{equation*}
を計算して$f(t)$を求めましょう．これは力学（系）を勉強するときに重要となります．