経済数学入門演習問題(Lec 05, 2020年06月01日)
- I
- (1)
$\vec{a},\vec{b}\in\mathbf{R}^n$に対して
\begin{equation*}
{}^t(\vec{a}+\vec{b})
=
{}^t\vec{a}+{}^t\vec{b},\quad
{}^t(\lambda\vec{a})=\lambda({}^t\vec{a})
\end{equation*}
が成立することを示しましょう.
- (2)
2次正方行列$A,B\in M_2(\mathbf{R})$に対して
\begin{equation*}
{}^t(A+B)
=
{}^tA+{}^tB,\quad
{}^t(\lambda A)=\lambda({}^tA)
\end{equation*}
が成立することを示しましょう.
- II
-
$A\in M_2(\mathbf{R})$に対して
\begin{equation*}
\left(A\vec{v},\vec{w}\right)
=
\left(\vec{v},{}^tA\vec{w}\right)
\quad
(\vec{v},\vec{w}\in\mathbf{R}^2)
\end{equation*}
が成立することを用いて
\begin{equation*}
{}^t(AB)={}^tB{}^tA
\end{equation*}
を導きましょう.
- III
-
$R_1,R_2\in M_2(\mathbf{R})$が直交行列であるとします.このとき
$R_1R_2$と${}^tR_1$が直交であることを証明しましょう.
- IV
- $R\in M_2(\mathbf{R})$が回転行列ならば$R^{-1}={}^tR$であることを示しましょう.
- V
-
次の行列の積を計算しましょう.(計算の意味を考えてみましょう.)
\begin{equation*}
\left(
\begin{smallmatrix}
\cos\alpha&\sin\alpha\\
-\sin\alpha&\cos\alpha
\end{smallmatrix}
\right)
\left(
\begin{smallmatrix}
\cos\beta&\sin\beta\\
\sin\beta&-\cos\beta
\end{smallmatrix}
\right)
\left(
\begin{smallmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{smallmatrix}
\right)
\end{equation*}