経済数学入門、演習問題(L02, 2020年05月11日）
- -1 （L01 の再出題：(1),(2),(7)-(11)）
-
次の行列の積を計算しましょう．
(1)
$\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\beta&-\sin\beta\\
\sin\beta&\cos\beta
\end{pmatrix}
$
(2)
$\begin{pmatrix}
\cos\alpha&\sin\alpha\\
\sin\alpha&-\cos\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\alpha&\sin\alpha\\
\sin\alpha&-\cos\alpha
\end{pmatrix}
$
(7)
$\begin{pmatrix}
1&\lambda\\
0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&\mu\\
0&1
\end{pmatrix}
$
(8)
$\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
$
(9)
$\begin{pmatrix}
a_1&b_1\\
a_2&b_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1&\lambda\\
0&1
\end{pmatrix}
$
(10)
$\begin{pmatrix}
a_1&b_1\\
a_2&b_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\lambda&0\\
0&1
\end{pmatrix}
$
(11)
$\begin{pmatrix}
a_1&b_1\\
a_2&b_2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
$
- 解答ビデオ(1)+(2)
・
解答ビデオ(3)--(11)
- o
（L01 の再出題：(6)--(12)）
-
$\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{R}^n$とします．以下を計算しましょう。
(6)
$(\vec a\ \vec b)
\begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix}$,
(7)
$(\vec a\ \vec b)
\begin{pmatrix}
0&1\\1&0
\end{pmatrix}$,
(8)
$(\vec a\ \vec b\ \vec c)
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}$,
(9)
$(\vec a\ \vec b\ \vec c)
\begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&0\\
1&0&0
\end{pmatrix}$,
(10)
$(\vec a\ \vec b\ \vec c)
\begin{pmatrix}
\lambda&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}$,
(11)
$(\vec a\ \vec b\ \vec c)
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&\lambda&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}$,
(12)
$(\vec a\ \vec b\ \vec c)
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&\lambda
\end{pmatrix}$,
- I
次の曲面の$\mathrm{P}_0$における接平面を求めましょう．
-
(1)
$z=xy-2x+2y-1$ at $\mathrm{P}_0(0,0,-1)$
(2)
$z=\frac x{x+y}$ at $\mathrm{P}_0(1,-2,-1)$
(3)
$z=x^2-xy+2y^2$ at $\mathrm{P}_0(2,1,4)$
(4)
$z=\frac y{1+x^2}$ at $\mathrm{P}_0(0,0,0)$
(2)と(4)では1変数の微分の公式
$$
\left(
\frac gf
\right)'
=\frac {g'f-gf'}{f^2}
$$
を用いましょう．
- II
以下の曲線$g(x,y)=0$ の $\mathrm{P}_0$における接線を求めましょう．
-
(1)
$g(x,y)=x^2+4y^2-1=0$ at $P_0(\frac 1{\sqrt 2}, \frac 1{2\sqrt 2})$
(2)
$g(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}-1=0$ at
$P_0(1,1)$
(3)
$g(x,y)=x^2-xy+y^2-1=0$ at $P_0(0,1)$
- III
-
クラメールの公式を用いて
$$
\left\{
\begin{array}{lcl}
x+y-z&=&1\\
2x-y+z&=&-1
\end{array}
\right.
$$
を満たす$(x,y,z)$に対して$x,y$を$z$で表しましょう．
- IV
-
資本$K$, 労働力$L$の投入に対する生産関数
\begin{equation*}
Q=F(K,L)=9K^{\frac 13}L^{\frac 23}
\end{equation*}
を考えます．
- (1)
$K=216$ and $L=10^3$に対する生産量$Q$を求めましょう．
- (2)
$(K,L)=(216,10^3)$
のときの資本の限界生産物MPKと労働の限界生産物MPLを求めて，
$F(216,998)$ と $F(217.5,10^3)$ の近似値を求めましょう．
- V
次の$3$点$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$
を通る平面の方程式を求めましょう．
-
(1)
$\mathrm{A}(0,0,0)$, $\mathrm{B}(1,2,3)$,
$\mathrm{C}(4,5,6)$
-
(2)
$\mathrm{A}(2,0,0)$, $\mathrm{B}(0,3,0)$,
$\mathrm{C}(0,0,4)$
-
(3)
$\mathrm{A}(1,2,3)$, $\mathrm{B}(-1,-1,0)$,
$\mathrm{C}(2,-3,5)$
%
%Copied from 2019/05/13
%
%
- VI
- 次の行列の逆行列を求めましょう．
(1)
$A=\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}
$
(2)
$A=\begin{pmatrix}
1&-1\\1&1
\end{pmatrix}
$
(3)
$A=\begin{pmatrix}
1&0\\\lambda&1
\end{pmatrix}
$
(4)
$A=\begin{pmatrix}
1&\lambda\\0&1
\end{pmatrix}
$
(5)
$A=\begin{pmatrix}
1&1\\1&2
\end{pmatrix}
$
(6)
$A=\begin{pmatrix}
1&2\\3&4
\end{pmatrix}
$
(7)
$A=\begin{pmatrix}
2&5\\1&3
\end{pmatrix}
$
- 解答ビデオ(1)--(4)
- VII
- 以下の等式を満たす$2$次正方行列$X$を求めましょう．
- (i)
$
\begin{pmatrix}
1&2\\-2&1
\end{pmatrix}
X=
\begin{pmatrix}
3&4\\5&6
\end{pmatrix}
$
(ii)
$
X
\begin{pmatrix}
3&4\\5&6
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1&2\\-2&1
\end{pmatrix}
$
- VIII
- 2次正方行列$A$, $B$が正則であるとします．このとき
$AB$と$A^{-1}$が正則であることを示しましょう．
- IC
- 2次正方行列$A=(\vec a_1\ \vec a_2)$が
$$
A\vec x=\vec 0\quad (\vec x\in\mathbf{R}^2)
$$
を満たすとします．このとき$A=O_2$となることを示しましょう．
Hint:標準単位ベクトル
$
\begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0\\1
\end{pmatrix}
$
を$\vec x$として考えましょう．
- X
-
$g(x,y)=x^2-y^2-1=0$をその上の点$(2,\sqrt 3)$の近傍で解いて
\begin{equation}
\varphi(x)=\sqrt{x^2-1}
\end{equation}
とします．$\varphi'(2)$を$g$の1階の偏微分係数を用いて求めましょう．
- XI
-
Cobb-Douglas型生産関数
\begin{equation}
Q=F(K,L)=4K^{\frac 34}L^{\frac 14}
\end{equation}
に対して
$F(10^4+100,625+(-15))$の近似値を
$K=10^4,\ L=625$におけるMPK,MPLを用いて求めましょう．電卓でも計算してみましょう．
- XII
-
ある工場が非熟練労働$x$時間，熟練労働$y$時間を使ってある生産物を
\begin{equation*}
Q=F(x,y)=60x^{\frac 23}y^{\frac 13}
\end{equation*}
単位生産していて，現在$x=64$, $y=27$となっているとします．
- (1) 現在の生産量を求めましょう．
- (2) どの方向に$(x,y)$を変化させれば$Q$が最も増加するでしょうか？
- (3) 熟練労働を1.5時間増加させるが，生産レベルを保つとします．非熟練労働はどのように変化させることになるか近似値を求めましょう．
- XIII
-
曲線$g(x,y):=x^2-xy+y^2-1$を$(1,1)$の近傍で解いた
\begin{equation*}
y=\varphi(x)=\frac {x+\sqrt{4-3x^2}}{2}
\end{equation*}
に対して$\varphi'(1)$を$g$の1階の偏微分係数を用いて求めましょう．