経済数学演習問題 wLec 10, 2020/12/08
- I
-
$I$を$\mathbf{R}$の開区間とします.$f:\ I\rightarrow \mathbf{R}$が
凸関数であるとします.このとき$x_1,x_2,x_3\in I$が
$x_1 < x_2 < x_3$
を満たすとき
\begin{equation*}
\frac {f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}
\stackrel{(*)}{\leq}
\frac {f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}
\stackrel{(**)}{\leq}
\frac {f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}
\end{equation*}
を証明しましょう.最初の不等式(*)は, $x_2$を
$$
x_2=(1-t)x_1+t x_3
$$
と$0< t <1$を満たす$t$を用いて表すとき
$$
f(x_2)\leq (1-t)f(x_1)+tf(x_3)
$$
が成立することを用います.
- II
-
(1)
$p > 1$のとき$f(t):=t^p$が$I=(0,+\infty)$上で狭義の凸関数
であることを示しましょう.
-
(2)
$x,y>0,\ x\not=y$, $0<\alpha<1$のとき,不等式
$$
\left(
(1-\alpha) x+\alpha y
\right)^p
\leq (1-\alpha)x^p+\alpha y^p
$$
が成立することを証明しましょう.
- III
-
$f:\ (a,b)\rightarrow \mathbf{R}$が凸関数とします.
$$
U:=\{(x,y);\ a< x< b,\quad y > f(x)\}
$$
が凸集合となることを示しましょう.
- IV
- $U_1$, $U_2$を$\mathbf{R}^2$の凸集合とします.
$U_1\cap U_2$が凸集合となることを証明しましょう.
- V
-
$\alpha,\beta>0$とします.第1象限$\mathbf{R}^2_{++}$上の函数
\begin{equation*}
u(x,y):=x^\alpha y^\beta
\end{equation*}
が凹関数である必要十分条件が
\begin{equation*}
\alpha+\beta\leq 1
\end{equation*}
であることを示しましょう.
- VI
- $\alpha,\beta>0$とします.
第1象限$\mathbf{R}^2_{++}$上の関数
\begin{equation*}
u(x,y):=\alpha\log x+\beta \log y
\end{equation*}
が狭義の凹関数であることを示しましょう.