経済数学演習問題　wLec 10, 2020/12/08

I

$I$を$\mathbf{R}$の開区間とします．$f:\ I\rightarrow \mathbf{R}$が 凸関数であるとします．このとき$x_1,x_2,x_3\in I$が $x_1 < x_2 < x_3$ を満たすとき \begin{equation*} \frac {f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \stackrel{(*)}{\leq} \frac {f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1} \stackrel{(**)}{\leq} \frac {f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2} \end{equation*} を証明しましょう．最初の不等式(*)は, $x_2$を $$ x_2=(1-t)x_1+t x_3 $$ と$0< t <1$を満たす$t$を用いて表すとき $$ f(x_2)\leq (1-t)f(x_1)+tf(x_3) $$ が成立することを用います．

II

(1) $p > 1$のとき$f(t):=t^p$が$I=(0,+\infty)$上で狭義の凸関数 であることを示しましょう．

(2) $x,y>0,\ x\not=y$, $0<\alpha<1$のとき，不等式 $$ \left( (1-\alpha) x+\alpha y \right)^p \leq (1-\alpha)x^p+\alpha y^p $$ が成立することを証明しましょう．

III

$f:\ (a,b)\rightarrow \mathbf{R}$が凸関数とします． $$ U:=\{(x,y);\ a< x< b,\quad y > f(x)\} $$ が凸集合となることを示しましょう．

IV

$U_1$, $U_2$を$\mathbf{R}^2$の凸集合とします． $U_1\cap U_2$が凸集合となることを証明しましょう．

V

$\alpha,\beta>0$とします．第1象限$\mathbf{R}^2_{++}$上の函数 \begin{equation*} u(x,y):=x^\alpha y^\beta \end{equation*} が凹関数である必要十分条件が \begin{equation*} \alpha+\beta\leq 1 \end{equation*} であることを示しましょう．

VI

$\alpha,\beta>0$とします． 第1象限$\mathbf{R}^2_{++}$上の関数 \begin{equation*} u(x,y):=\alpha\log x+\beta \log y \end{equation*} が狭義の凹関数であることを示しましょう．