経済数学演習問題 L10 2020/07/07
- I
-
$u(x,y)=x^{\frac 12}y^{\frac 12}$とします.制約条件
\begin{equation*}
u(x,y)=\bar{u}
\end{equation*}
の下で$f(x,y)=px+qy$を考えます.停留点を求めましょう.
- II
- Iによって得られたHicks型(補償)需要
関数を
\begin{equation*}
x^*(p,q,\bar{u}),\ y^*(p,q,\bar{u})
\end{equation*}
とします.最小支出関数
\begin{equation*}
E(p,q,\bar{u})=px^*(p,q,\bar{u})+qy^*(p,q,\bar{u})
\end{equation*}
と定めるとき,マッケンジーの補題
\begin{equation*}
\frac{\partial E}{\partial p}(p,q,\bar{u})=x^*(p,q,\bar{u})
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{\partial E}{\partial q}(p,q,\bar{u})=y^*(p,q,\bar{u})
\end{equation*}
が成立することを示しましょう.
- III
-
IIに引続き,$I-px-qy=0$の下で$u(x,y)=x^{\frac 12}y^{\frac 12}$を最大化
して需要関数
\begin{equation}
x(p,q,I)=\frac I{2p},\ y(p,q,I)=\frac I{2q},\
\end{equation}
を得たとします.間接効用関数を
\begin{equation}
v(p,q,I)=u(x(p,q,I),y(p,q,I))
\end{equation}
と定めるとき,以下が成立することを具体的に計算して示しましょう.
- (1)
\begin{equation}
x^*(p,q,\bar{u})=x(p,q,E(p,q,\bar{u}))
\end{equation}
- (2)
\begin{equation}
x(p,q,I)=x^*(p,q,v(p,q,I))
\end{equation}
- (3)
\begin{equation}
v(p,q,E(p,q,\bar{u}))=\bar{u}
\end{equation}
- (4)
\begin{equation}
E(p,q,v(p,q,I))=I
\end{equation}
- IV
-
$u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 23}$とします.制約条件
\begin{equation*}
u(x,y)=\bar{u}
\end{equation*}
の下で$f(x,y)=px+qy$を考えます.停留点を求めましょう.
- V
- IVによって得られたHicks型(補償)需要
関数を
\begin{equation*}
x^*(p,q,\bar{u}),\ y^*(p,q,\bar{u})
\end{equation*}
とします.最小支出関数
\begin{equation*}
E(p,q,\bar{u})=px^*(p,q,\bar{u})+qy^*(p,q,\bar{u})
\end{equation*}
と定めるとき,マッケンジーの補題
\begin{equation*}
\frac{\partial E}{\partial p}(p,q,\bar{u})=x^*(p,q,\bar{u})
\end{equation*}
\begin{equation*}
\frac{\partial E}{\partial q}(p,q,\bar{u})=y^*(p,q,\bar{u})
\end{equation*}
が成立することを示しましょう.
- VI
-
Vに引続き,$I-px-qy=0$の下で$u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 23}$を最大化
して需要関数
\begin{equation}
x(p,q,I)=\frac I{3p},\ y(p,q,I)=\frac {2I}{3q},\
\end{equation}
を得たとします.間接効用関数を
\begin{equation}
v(p,q,I)=u(x(p,q,I),y(p,q,I))
\end{equation}
と定めるとき,以下が成立することを具体的に計算して示しましょう.
- (1)
\begin{equation}
x^*(p,q,\bar{u})=x(p,q,E(p,q,\bar{u}))
\end{equation}
- (2)
\begin{equation}
x(p,q,I)=x^*(p,q,v(p,q,I))
\end{equation}
- (3)
\begin{equation}
v(p,q,E(p,q,\bar{u}))=\bar{u}
\end{equation}
- (4)
\begin{equation}
E(p,q,v(p,q,I))=I
\end{equation}