経済数学、演習問題(Lec 07, 2020年06月16日）

I

(1) 要素需要関数$x(p,q,r)$, $y(p,q,r)$を求めた状況において \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{cccccc} rf_x(x(p,q,r),y(p,q,r))&-&p&=&0&\cdots(1)\\ rf_y(x(p,q,r),y(p,q,r))&-&q&=&0&\cdots(2) \end{array} \right. \end{equation*} の両辺を$r$で偏微分して $\frac{\partial x}{\partial r}$, $\frac{\partial y}{\partial r}$ を求めましょう．

(2) \begin{equation*} z(p,q,r):=f(x(p,q,r),y(p,q,r)) \end{equation*} に対して $\frac{\partial z}{\partial r}$ を求めて \begin{equation*} \frac{\partial z}{\partial r}>0 \end{equation*} であることを示しましょう． ここでは任意の$\mathrm{P}\in \mathbf{R}^2_{++}$に対して $f_x(P)\not=0$または$f_y(P)\not=0$が成立することを仮定します．

(3) $x(p,q,r)$, $y(p,q,r)$が$0$次同次関数であることを Euler 方程式を用いて示しましょう．

(4) 問題II における $x(p,q,r)$, $y(p,q,r)$の価格弾力性 を一般的に考えます． \begin{equation*} \epsilon_{11}+\epsilon_{12}+\epsilon_{13}=0,\quad \epsilon_{21}+\epsilon_{22}+\epsilon_{23}=0 \end{equation*} を示しましょう．

II

生産関数$f(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}$に対して 要素需要関数$x(p,q,r)$, $y(p,q,r)$の価格弾力性を次のように 定義します． \begin{align*} \epsilon_{11}&=\frac px\cdot \frac {\partial x}{\partial p} & \epsilon_{12}&=\frac qx\cdot \frac {\partial x}{\partial q} & \epsilon_{13}&=\frac rx\cdot \frac {\partial x}{\partial r} \\ \epsilon_{21}&=\frac py\cdot \frac {\partial y}{\partial p} & \epsilon_{22}&=\frac qy\cdot \frac {\partial y}{\partial q} & \epsilon_{23}&=\frac ry\cdot \frac {\partial y}{\partial r} \end{align*} を計算しましょう．