経済数学、演習問題(Lec 07, 2020年06月16日)
- I
- (1)
要素需要関数$x(p,q,r)$, $y(p,q,r)$を求めた状況において
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{cccccc}
rf_x(x(p,q,r),y(p,q,r))&-&p&=&0&\cdots(1)\\
rf_y(x(p,q,r),y(p,q,r))&-&q&=&0&\cdots(2)
\end{array}
\right.
\end{equation*}
の両辺を$r$で偏微分して
$\frac{\partial x}{\partial r}$,
$\frac{\partial y}{\partial r}$
を求めましょう.
- (2)
\begin{equation*}
z(p,q,r):=f(x(p,q,r),y(p,q,r))
\end{equation*}
に対して
$\frac{\partial z}{\partial r}$
を求めて
\begin{equation*}
\frac{\partial z}{\partial r}>0
\end{equation*}
であることを示しましょう.
ここでは任意の$\mathrm{P}\in \mathbf{R}^2_{++}$に対して
$f_x(P)\not=0$または$f_y(P)\not=0$が成立することを仮定します.
- (3)
$x(p,q,r)$, $y(p,q,r)$が$0$次同次関数であることを
Euler 方程式を用いて示しましょう.
- (4)
問題II における
$x(p,q,r)$, $y(p,q,r)$の価格弾力性
を一般的に考えます.
\begin{equation*}
\epsilon_{11}+\epsilon_{12}+\epsilon_{13}=0,\quad
\epsilon_{21}+\epsilon_{22}+\epsilon_{23}=0
\end{equation*}
を示しましょう.
- II
-
生産関数$f(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}$に対して
要素需要関数$x(p,q,r)$, $y(p,q,r)$の価格弾力性を次のように
定義します.
\begin{align*}
\epsilon_{11}&=\frac px\cdot \frac {\partial x}{\partial p}
&
\epsilon_{12}&=\frac qx\cdot \frac {\partial x}{\partial q}
&
\epsilon_{13}&=\frac rx\cdot \frac {\partial x}{\partial r}
\\
\epsilon_{21}&=\frac py\cdot \frac {\partial y}{\partial p}
&
\epsilon_{22}&=\frac qy\cdot \frac {\partial y}{\partial q}
&
\epsilon_{23}&=\frac ry\cdot \frac {\partial y}{\partial r}
\end{align*}
を計算しましょう.