経済数学、演習問題(Lec 06, 2020年06月09日）
- I 以下の函数の停留点を求めて極大・極小を判定しましょう．
- (1) $z=x^2+xy+y^2-4x-8y$
- (2) $z=x^3+y^3-9xy+27$
- (3) $z=x^2+xy-y^2-4x-2y$
- (4) $z=x^2+4xy+2y^2-6x-8y$
- (5) $z=x^3-xy-y^2$
- (6) $z=e^{-x^2-y^2}(2x^2+y^2)$
- (7) $z=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)$
- (8) $z=x^3+y^3+6xy$
- II
- $\alpha,\beta>0, A>0$を定数として
Cobb-Douglas型関数を
\begin{equation}
Y=F(K,L)=
AK^\alpha L^\beta
\end{equation}
と定義します.
- (1)
$F_{KK}$, $F_{KL}$, $F_{LK}$, $F_{LL}$を求めましょう.
- (2)
第1象限のすべての点$(K,L)\in\mathbf{R}^2_{++}$に対して
\begin{equation}
F_{KK}(K,L)<0,\ \text{かつ}\
\det(H(F)(K,L)>0
\end{equation}
を満たす$\alpha,\beta$の条件を求めましょう.
- III
- 生産関数
$$
f(x,y)=x^\alpha y^\beta\quad (\alpha,\beta>0)
$$
を考えます．
- (1)
$\det(H(f))$, $f_{xx}$を計算しましょう．
- (2)
$\alpha+\beta\not=1$のとき，利潤関数
$$
\pi(x,y):=pf(x,y)-qx-ry
$$
の停留点を求めましょう．ここでは$p,q,r>0$とします．
- (3)
$\alpha+\beta<1$のとき利潤を最大化する$(x,y)$がただ一つ存在することを示しましょう．
- IV
- 生産関数
$f(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}$に対する利潤関数
$$
\pi(x,y)=pf(x,y)-qx-ry
$$
を最大化して生産要素需要関数
$$
x(p,q,r)=\frac {p^3}{27q^2r},\quad
y(p,q,r)=\frac {p^3}{27qr^2}
$$
を求めました．利潤関数
$$
\Pi(p,q,r)=\pi(x(p,q,r),y(p,q,r))
$$
生産物供給関数
$$
z(p,q,r)=f(x(p,q,r),y(p,q,r))
$$
を定義すると
\begin{align*}
z(p,q,r)&=\frac {\partial \Pi}{\partial p}\\
x(p,q,r)&=-\frac {\partial \Pi}{\partial q}\\
y(p,q,r)&=-\frac {\partial \Pi}{\partial r}
\end{align*}
が成立することを、具体的に両辺を計算することで示しましょう．
- V
- $\alpha,\beta>0$, $\rho>0$を定数として
CES関数を
\begin{equation}
Y=F(K,L)=
\left(
\alpha K^\rho+\beta L^\rho
\right)^\frac 1{\rho}
\end{equation}
と定義します.
- (1)
$\log F(K,L)$を$K$, $L$で偏微分して$F_K(K,L)$,
$F_L(K,L)$を求めましょう.
- (2)
$F(K,L)$がEuler の等式
\begin{equation}
K\cdot F_K(K,L)+L\cdot F_L(K,L)=F(K,L)
\end{equation}
を満たすことを示しましょう.
- VI
- $p,q,r>0$とします．生産関数
$$
f(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 12}
$$
に対して利潤関数
$$
\pi(x,y)=rf(x,y)-px-qy
$$
を考えます．$\pi(x,y)$の停留点を求めましょう．
- VII
-
曲線
$
x^2+xy+y^2-x+2y=0
$
が回転座標変換
$
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
=
\frac 1{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1&-1\\1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X\\Y
\end{pmatrix}
$
によっていかなる式で表されるか考えましょう。
- VIII
-
曲線
$
x^2+3xy+y^2-1=0
$
が回転座標変換
$
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
=
\frac 1{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1&-1\\1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X\\Y
\end{pmatrix}
$
によっていかなる式で表されるか考えましょう。
- IX
-
以下の関数が第1象限$\mathbf{R}^2_{++}$上でEuler方程式を満たすことを示しましょう．
- (1) $u(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$,
(2) $u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 23}$
- X
- $\alpha,\beta>0$, $\rho>0$を定数として
CES関数を
\begin{equation}
Y=F(K,L)=
\left(
\alpha K^\rho+\beta L^\rho
\right)^\frac 1{\rho}
\end{equation}
と定義します.
- (1)
$\log F(K,L)$を$K$, $L$で偏微分して$F_K(K,L)$,
$F_L(K,L)$を求めましょう.
- (2)
$F(K,L)$がEuler の等式
\begin{equation}
K\cdot F_K(K,L)+L\cdot F_L(K,L)=F(K,L)
\end{equation}
を満たすことを示しましょう.