経済数学演習問題(Lec 05, 2020年06月02日)
- I
-
次の$\vec a, \vec b\in\mathbf{R}^n$に対して
$$
L=\{x\vec a+y\vec b;\ x,y\in\mathbf{R}\}
$$
を考えます.条件
$$
||\vec p||=||\vec q||=1,\ (\vec p,\vec q)=0
$$
を満たす$\vec p,\vec q\in L$を求めましょう.
-
(1)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\1\\-1
\end{pmatrix}$
(2)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\2\\1
\end{pmatrix}$
(3)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1\\1
\end{pmatrix}$
(4)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\0\\2\\1
\end{pmatrix}$
- II(XIIの続き)
- XIIの$\vec p,\vec q$を用いて、次の$\vec c$の
$L$への直交射影$\vec v_0$を求めて、さらに
$$
\vec v_0=x\vec a+y\vec b
$$
を満たす$x,y$を求めましょう.
-
(1)
$\vec c=
\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}$
(2)
$\vec c=
\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}$
(3)
$\vec c=
\begin{pmatrix}
1\\0\\0\\0
\end{pmatrix}$
(4)
$\vec c=
\begin{pmatrix}
0\\0\\0\\1
\end{pmatrix}$
- III
- 次の$\vec a,\vec b\in\mathbf{R}^n$に対して
$2$列の行列$X=(\vec a\ \vec b)$を定めます.
${}^tXX$と$\det({}^tXX)$を求めましょう.
-
(1)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\1\\-1
\end{pmatrix}$,
(2)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\-1\\1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\-2\\2
\end{pmatrix}$,
(3)
$\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1\\-1
\end{pmatrix}$,
$\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\0\\-1\\1
\end{pmatrix}$
- IV
- $f$は$\mathbf{R}$上の微分可能な関数とします.
- (1)
$F(x,y):=f(x^2+y^2)$と$\mathbf{R}^2$上の関数を定義します.
$\nabla(F)(x,y)$を求めましょう.
- (2) $y\not=0$のとき
$G(x,y):=f(\frac xy)$を定義します.
$\nabla(G)(x,y)$を求めましょう.
- V
- (1)
$f(x,y,z)=e^x+e^{2y}+e^{3z}$とします.$\nabla(f)(0,0,0)$を求めましょう.
- (2)
$g(x,y,z)=e^{x+2y+3z}$とします.$\nabla(g)(0,0,0)$を求めましょう.
- VI
- $f$の$\mathrm{P}_0$における$\vec{v}$方向の微分
$D_{\vec{v}}(f)(\mathrm{P}_0)$を求めましょう.
- (1)
$f(x,y)=x+2y-1$ at $\mathrm{P}_0(1,2)$ in the direction
$\vec{v}=
\left(
\begin{smallmatrix}
1\\1
\end{smallmatrix}
\right)$
- (2)
$f(x,y)=x^2+2xy-y^3$ at $\mathrm{P}_0(1,1)$ in the direction
$\vec{v}=
\left(
\begin{smallmatrix}
1\\3
\end{smallmatrix}
\right)$
- VII
-
$\mathbf{R}^2$の開集合$U$上で定義された関数$f(x,y)$が与えられているとします.他方$U$の中に
$C^2$級の
曲線
$(x(t),y(t))$
が与えられているとします.このとき
\begin{equation*}
F(t):=f(x(t),y(t))
\end{equation*}
を定義します.このとき
\begin{equation*}
F''(t):=
\left(
H(f)(x(t),y(t))
\left(
\begin{smallmatrix}
x'(t)\\y'(t)
\end{smallmatrix}
\right),
\left(
\begin{smallmatrix}
x'(t)\\y'(t)
\end{smallmatrix}
\right)
\right)
+
\left(
\nabla(f)(x(t),y(t)),
\left(
\begin{smallmatrix}
x''(t)\\y''(t)
\end{smallmatrix}
\right)
\right)
\end{equation*}
が成立することを示しましょう.
- VIII
- 第1象限
\begin{equation*}
\mathbf{R}^2_{++}
=
\{(x,y)\in\mathbf{R}^2;\ x,y>0\}
\end{equation*}
の上で定義されている関数は
\begin{equation*}
f(tx,ty)=t^\lambda f(x,y)\quad
(t>0,\ (x,y)\in \mathbf{R}^2_{++})
\end{equation*}
が成立するとき
$\lambda$斉次であるといいます.
- (1)
この状況で,さらに$f$が$\mathbf{R}^2_{++}$で$C^1$級ならば
\begin{equation}
xf_x(x,y)+yf_y(x,y)=\lambda f(x,y)\quad
((x,y)\in\mathbf{R}^2_{++})
\tag{EQ}
\end{equation}
が成立することを示しましょう.
- (2)
逆に$\mathbf{R}^2$上で$C^1$級の$f$が(EQ)を満たすならば
$f$は$\lambda$次斉次であることを示しましょう.