経済数学演習問題（Lec 04, 2020年05月26日）
- I
- (1)
$
P_{13}(\lambda)=
\begin{pmatrix}
1&0&\lambda\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
$
とします。
(i) $P_{13}(\lambda)P_{13}(\mu)$を計算しましょう。
(ii) $P_{13}(\lambda)$が正則であることを示して
$P_{13}(\lambda)^{-1}$を求めましょう。
- (2)
$
Q=
\begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&0\\
1&0&0
\end{pmatrix}
$
とします。
(i) $Q^2$を計算しましょう。
(ii) $Q$が正則であることを求めて$Q^{-1}$を求めましょう。
- 解答ビデオ
- II
-
$$
\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\2\\-3\\4
\end{pmatrix},\
\vec b=
\begin{pmatrix}
1\\-1\\-1\\1
\end{pmatrix}
$$
に対して$||\vec a-t\vec b||^2$を最小にする$t$を求めましょう．
- [解答ビデオ]
- III
-
$$
\vec a=
\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix},\
\vec b=
\begin{pmatrix}
2\\-1\\-1
\end{pmatrix},\
\vec g=
\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}
$$
とします．
- (1) $(\vec a,\vec b)=0$であることを示しましょう．
- (2) $||\vec g-x\vec a-y\vec b||^2$を最小にする$x,y$を求めましょう．
- [解答ビデオ]
- IV
-
$R_1,R_2\in M_2(\mathbf{R})$が直交行列であるとします．このとき
$R_1R_2$と${}^tR_1$が直交であることを証明しましょう．
- V
- $R\in M_2(\mathbf{R})$が回転行列ならば$R^{-1}={}^tR$であることを示しましょう．
- VI
-
次の行列の積を計算しましょう．（計算の意味を考えてみましょう．）
\begin{equation*}
\left(
\begin{smallmatrix}
\cos\alpha&\sin\alpha\\
-\sin\alpha&\cos\alpha
\end{smallmatrix}
\right)
\left(
\begin{smallmatrix}
\cos\beta&\sin\beta\\
\sin\beta&-\cos\beta
\end{smallmatrix}
\right)
\left(
\begin{smallmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{smallmatrix}
\right)
\end{equation*}
-
以下のVII---Xは復習用です．必要ならば，ビデオ
「接平面」,
「接線」を視聴してください．
- VII
-
$g(x,y)=x^2-y^2-1=0$をその上の点$(2,\sqrt 3)$の近傍で解いて
\begin{equation}
\varphi(x)=\sqrt{x^2-1}
\end{equation}
とします．$\varphi'(2)$を$g$の1階の偏微分係数を用いて求めましょう．
- VIII
-
Cobb-Douglas型生産関数
\begin{equation}
Q=F(K,L)=4K^{\frac 34}L^{\frac 14}
\end{equation}
に対して
$F(10^4+100,625+(-15))$の近似値を
$K=10^4,\ L=625$におけるMPK,MPLを用いて求めましょう．電卓でも計算してみましょう．
- IX
-
ある工場が非熟練労働$x$時間，熟練労働$y$時間を使ってある生産物を
\begin{equation*}
Q=F(x,y)=60x^{\frac 23}y^{\frac 13}
\end{equation*}
単位生産していて，現在$x=64$, $y=27$となっているとします．
- (1) 現在の生産量を求めましょう．
- (2) どの方向に$(x,y)$を変化させれば$Q$が最も増加するでしょうか？
- (3) 熟練労働を1.5時間増加させるが，生産レベルを保つとします．非熟練労働はどのように変化させることになるか近似値を求めましょう．
- X
-
曲線$g(x,y):=x^2-xy+y^2-1$を$(1,1)$の近傍で解いた
\begin{equation*}
y=\varphi(x)=\frac {x+\sqrt{4-3x^2}}{2}
\end{equation*}
に対して$\varphi'(1)$を$g$の1階の偏微分係数を用いて求めましょう．