経済数学演習問題(Lec 03, 2020年05月19日）

I

次の行列の積を求めましょう．
(1) $\begin{pmatrix} a_1&c_1\\ 0&b_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_2&c_2\\ 0&b_2 \end{pmatrix} $ (2) $\begin{pmatrix} a_1&0\\ c_1&b_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_2&0\\ c_2&b_2 \end{pmatrix} $ (3) $\begin{pmatrix} a_1&0\\ 0&b_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_2&0\\ 0&b_2 \end{pmatrix} $

II

$A$, $P$は2次正方行列とします．$P$が正則であるとき，帰納法を用いて $$ (P^{-1}AP)^n=P^{-1}A^nP $$ であることを示しましょう．

III

(1) $ \left( \begin{smallmatrix} 1&0\\ \lambda&1 \end{smallmatrix} \right) \left( \begin{smallmatrix} 1&0\\ \mu&1 \end{smallmatrix} \right) $ を計算して $ \left( \begin{smallmatrix} 1&0\\ \lambda&1 \end{smallmatrix} \right) $ が正則であることを示しましょう．

(2) $ \left( \begin{smallmatrix} 1&0&\lambda\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{smallmatrix} \right) \left( \begin{smallmatrix} 1&0&\mu\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{smallmatrix} \right) $ を計算して $ \left( \begin{smallmatrix} 1&0&\lambda\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{smallmatrix} \right) $ が正則であることを示しましょう．

IV

(1) $ A= \begin{pmatrix} \cos\theta&\sin\theta\\ \sin\theta&-\cos\theta \end{pmatrix} $ に対して$A^2$を求めましょう．

(2) (1) を用いて$A^{-1}$を求めましょう．

V

以下の$\vec a$, $\vec b$に対して$\vec b$の$\vec a$方向への直交射影を求めましょう．

(1) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} $, $\vec b= \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} $ (2) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\-1 \end{pmatrix} $, $\vec b= \begin{pmatrix} 1\\0\\-1\\1 \end{pmatrix} $ (3) $\vec a= \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\-1 \end{pmatrix} $, $\vec b= \begin{pmatrix} 1\\0\\2\\1 \end{pmatrix} $

VI

$$ \vec a= \begin{pmatrix} 1\\2\\-3\\4 \end{pmatrix},\ \vec b= \begin{pmatrix} 1\\-1\\-1\\1 \end{pmatrix} $$ に対して$||\vec a-t\vec b||^2$を最小にする$t$を求めましょう．

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VII

$A,B\in M_2(\mathbf{R})$とします。

（復習）$A$が正則であるとは$AX=XA=I_2$を満たす$X\in M_2(\mathbf{R})$が存在するときです．$A$が正則であるときは，この条件を満たす$X$はただ一つ存在することが示されて，$X=A^{-1}$と記します．

(1) $A$が正則ならば$A^{-1}$も正則であることを示しましょう。

(2) $A,B$が正則ならば積$AB$も正則であることを示しましょう。

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VIII

$\vec a\in\mathbf{R}^n$が$\vec a\not=\vec 0$を満たすとします． $c\vec a=\vec 0$ならば$c=0$となることを示しましょう．

IX

$\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{R}^n$に対して $$ ||\vec a+\vec b+\vec c||^2= ||\vec a||^2+||\vec b||^2+||\vec c||^2 +2(\vec a,\vec b)+2(\vec b,\vec c)+2(\vec a,\vec c) $$ が成立することを示しましょう．（「線型代数学」教科書13ページ、演習1.17）

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X

$\vec a\in\mathbf{R}^n$がすべての$\vec x\in\mathbf{R}^n$に対して垂直，すなわち $$ (\vec a,\vec x)=0\quad (\vec x\in\mathbf{R}^n) $$ が成立するとします．このとき$\vec a=\vec 0$となることを示しましょう． （「線型代数学」教科書13ページ、演習1.19）

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XI

$\vec f_1, \vec f_2, \vec f_3\in\mathbf{R}^n$が $$ (\vec f_i,\vec f_j)= \left\{ \begin{array}{ll} 1&(i=j)\\0&(i\not=j) \end{array} \right. $$ を満たすとします．

(1) $$ ||x\vec f_1+y\vec f_2||^2=x^2+y^2 $$ $$ ||x\vec f_1+y\vec f_2+z\vec f_3||^2=x^2+y^2+z^2 $$ を示しましょう．

(2)$\vec g\in\mathbf{R}^n$に対して $$ ||\vec g-x\vec f_1-y\vec f_2||^2=||\vec g||^2+x^2+y^2 -2x(\vec g,\vec f_1)-2y(\vec g,\vec f_2) $$ が成立することを示しましょう．

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XII

$\vec a= \begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\not=\vec 0 $ とします。$\vec w$を$\vec v\in\mathbf{R}^2$の$\vec a$方向の直交射影とします。このとき $$ \vec q=\vec v+2(\vec w-\vec v)=2\vec w-\vec v $$ に対して $$ \vec q=Q\vec v $$ を満たす行列$Q$を求めましょう。さらに $$ \vec a= \begin{pmatrix} \cos\theta\\\sin\theta \end{pmatrix} $$ のとき$Q$を求めましょう。

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IIII

生産要素A, Bの投入量$x$, $y$に対して生産物が生産関数 \begin{equation} z=f(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}\quad (x,y>0) \end{equation} だけ生産されるとします．生産要素A, Bの単位当たりの価格が$p$, $q$, 生産物の価格が$r$とするとき，利潤関数 \begin{equation} \pi(x,y):=rf(x,y)-px-qy \end{equation} を最大化する$(x,y)$を求めましょう．