経済数学、演習問題(L02, 2020年05月12日）
- I
- 次の行列の逆行列を求めましょう．
(1)
$A=\begin{pmatrix}
\cos\alpha&-\sin\alpha\\
\sin\alpha&\cos\alpha
\end{pmatrix}
$
(2)
$A=\begin{pmatrix}
1&-1\\1&1
\end{pmatrix}
$
(3)
$A=\begin{pmatrix}
1&0\\\lambda&1
\end{pmatrix}
$
(4)
$A=\begin{pmatrix}
1&\lambda\\0&1
\end{pmatrix}
$
(5)
$A=\begin{pmatrix}
1&1\\1&2
\end{pmatrix}
$
(6)
$A=\begin{pmatrix}
1&2\\3&4
\end{pmatrix}
$
(7)
$A=\begin{pmatrix}
2&5\\1&3
\end{pmatrix}
$
- 解答ビデオ(1)--(4)
- II
- 関数
$$
z=x^2+xy+y^2-4x+6y
$$
に対して回転座標変換
$$
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
=
\frac 1{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}
$$
を用いて、最小値を求めましょう．
- III
-
$$
z=2x^2+4xy-y^2-20x-8y+32
$$
に対して，平行移動の座標変換を用いて1次の項のない形にしましょう．
- 解答ビデオ
- IV
-
$$
z=x^2-xy+y^2-2x+3y
$$
に対して，平行移動の座標変換を用いて1次の項のない形にしましょう．
- 解答ビデオ
- V 次の曲面の$\mathrm{P}_0$における接平面を求めましょう。
- (1)
$z=xy-2x+2y-1$ at $\mathrm{P}_0(0,0,-1)$
- (2)
$z=\frac x{x+y}$ at $\mathrm{P}_0(1,-2,-1)$
- (3)
$z=x^2-xy+2y^2$ at $\mathrm{P}_0(2,1,4)$
- (4)
$z=\frac y{1+x^2}$ at $\mathrm{P}_0(0,0,0)$
- VI
-
$
A=
\begin{pmatrix}5-c&2\\2&2-c\end{pmatrix}
$に対して
$$
\left(
A
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}
\right)>0\quad
\left(
\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\not=\vec 0
\right)
$$
を満たす$c\in\mathbf{R}$をすべて求めましょう．
- VII
以下の曲線$g(x,y)=0$ の $\mathrm{P}_0$における接線を求めましょう．
-
(1)
$g(x,y)=x^2+4y^2-1=0$ at $P_0(\frac 1{\sqrt 2}, \frac 1{2\sqrt 2})$
(2)
$g(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}-1=0$ at
$P_0(1,1)$
(3)
$g(x,y)=x^2-xy+y^2-1=0$ at $P_0(0,1)$
- VIII
-
資本$K$, 労働力$L$の投入に対する生産関数
\begin{equation*}
Q=F(K,L)=9K^{\frac 13}L^{\frac 23}
\end{equation*}
を考えます．
- (1)
$K=216$ and $L=10^3$に対する生産量$Q$を求めましょう．
- (2)
$(K,L)=(216,10^3)$
のときの資本の限界生産物MPKと労働の限界生産物MPLを求めて，
$F(216,998)$ と $F(217.5,10^3)$ の近似値を求めましょう．
- IX
次の$3$点$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$
を通る平面の方程式を求めましょう．
-
(1)
$\mathrm{A}(0,0,0)$, $\mathrm{B}(1,2,3)$,
$\mathrm{C}(4,5,6)$
-
(2)
$\mathrm{A}(2,0,0)$, $\mathrm{B}(0,3,0)$,
$\mathrm{C}(0,0,4)$
-
(3)
$\mathrm{A}(1,2,3)$, $\mathrm{B}(-1,-1,0)$,
$\mathrm{C}(2,-3,5)$
- X
- 以下のベクトルの外積を計算しましょう．
- (1)
$
\begin{pmatrix}
1\\1\\1
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
2\\-1\\1
\end{pmatrix}
$
(2)
$
\begin{pmatrix}
1\\2\\1
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
3\\1\\1
\end{pmatrix}
$
(3)
$
\begin{pmatrix}
1\\2\\3
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
2\\1\\-1
\end{pmatrix}
$
- XI
- (1)
$\vec a,\vec b\in\mathbf{R}^3$とします．$\vec a,\vec b\not=\vec 0$であるとき，
$\vec a,\vec b$が作る平行四辺形の面積は
$$||\vec a\times \vec b||$$
であることを示しましょう．また
$$
(\vec a\times \vec b,\vec a)=
(\vec a\times \vec b,\vec b)=0
$$
であることを示しましょう．
（ここでは，3次行列式を使わないで示しましょう．）
- [解答ビデオ]
- (2)
$\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{R}^3$とします．$\vec a,\vec b,\vec c\not=\vec 0$であるとき，
$\vec a,\vec b,\vec c$が作る平行四面体の体積は
$$|(\vec a\times \vec b,\vec c)|$$
であることを示しましょう．
- [解答ビデオ]
- XII
- $\vec a,\vec b,\vec c\in\mathbf{R}^3$とします．このとき
$$
\vec a\times \vec b=-\vec b\times \vec a,\ \vec a\times \vec a=\vec 0
$$
$$
(\vec a+\vec b)\times \vec c=
\vec a\times \vec c+\vec b\times \vec c
$$
が成立することを示しましょう．
- [解答ビデオ]