微分積分演習（2020年度）

第2講義05/13

2018/05/13 第2講 演習問題

I

以下の和を求めましょう。

(1) $ S_n:=1+\frac 13+\frac 1{3^2}+\frac 1{3^3}+\dots+\frac 1{3^n} $

(2) $ T_n:=1+2\cdot \frac 12+3\cdot\frac 1{2^2}+\dots+n\cdot \frac 1{2^{n-1}} $

Hint: $$ \begin{array}{clclrrr} &T_n&=&1+&2\cdot \frac 12&+3\cdot \frac 1{2^2}&+\dots\\ -)&\frac 12T_n&=&&1\cdot \frac 12&+2\cdot \frac 1{2^2}&+\dots\\ \hline \end{array} $$

(3) $ T_n:=1+2\cdot 3+3\cdot 3^2+\dots+n\cdot 3^{n-1} $

II

次の差分方程式を解きましょう．

(1) $a_0=1$, $a_{n+1}=a_n+3n-1$

(2) $a_0=1$, $a_{n+1}=a_n+2^n+2n-1$

(3) $a_0=6$, $a_{n+1}=2a_n-3$

(4) $a_0=1$, $a_{n+1}=3a_n+2n$

(5) $a_0=3$, $a_{n+1}=2a_n+3^{n+1}$

(6) $a_0=1, a_1=2$, $a_{n+2}+4a_{n+1}-5a_n=0$

(7) $a_0=1, a_1=2$, $a_{n+2}=a_{n+1}+6a_n=0$

(8) $a_0=1, a_1=1$, $a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n=0$

III

(1)$\frac 1{k(k+1)}-\frac 1{(k+1)(k+2)}$を計算しましょう.

(2) (1)を用いて $$ \sum_{k=1}^n\frac 1{k(k+1)(k+2)} $$ を計算しましょう.

IV

(1) $(k+1)k(k-1)-k(k-1)(k-2)$を計算しましょう。

(2) $\displaystyle\sum_{k=1}^nk(k-1)$と $\displaystyle\sum_{k=1}^nk^2$を計算しましょう。

(3) (2)と同様のテクニックを使って $\displaystyle\sum_{k=1}^n(k+1)k(k-1)$と $\displaystyle\sum_{k=1}^nk^3$を計算しましょう。

V(2017/04/26 第3講 小テスト問題)

差分方程式 $$a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=p\quad (n=0,1,2,3,\dots)$$ を満たす$\{a_n\}$を$a_0,a_1,p$を用いて表しましょう。

VI(2018/04/25 第3講 小テスト問題)

差分方程式 $$ \left\{ \begin{array}{ccccc} a_{n+1}&=&2a_n+\frac 1{2^n}&(n=0,1,2,\ldots)&\qquad(1)\\ a_0&=&C&&\qquad(2) \end{array} \right. $$ の解を求めましょう．

VII

実数$r\in\mathbb{R}$が$r\not=-1$を満たすとき、極限 $$ \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac {1}{r^n+1} $$ を求めましょう.

VIII

実数$r\in\mathbb{R}$が$r>0$を満たすとき、極限 $$ \lim_{n\rightarrow +\infty}\frac {1}{nr^n+1} $$ を求めましょう．

IX

次の数列の極限を求めましょう．

(1) $\displaystyle\frac {3n+7}{n^2+n+1} $ (2) $\displaystyle\frac {5n-2}{7n+3}$ (3) $\displaystyle\frac {n^2}{1+n^2}$ (4) $\displaystyle\frac {2^n}{3^n+4}$ (5) $\displaystyle\frac {4^n-5^n}{3^n+5^n}$ (6) $\displaystyle\frac {4^{n+1}+2^{n+1}}{4^n-3^n}$ (7) $\displaystyle\frac {3\cdot 2^n-5}{2^n+3}$

X

$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}n\left(\frac 14\right)^{n-1}$の値を求めましょ う

V

$|r|<1$のとき $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}n^2r^n=0$であることを示しましょう．