微分積分演習問題　wL11 2020/12/16

I 以下の広義積分の値を求めましょう。

(1) $\int^{+\infty}_0\frac 1{(1+x)^2}dx$
(2) $\int^{\infty}_{0}\frac 1{(1+x)^{\frac 32}}dx$
(3) $\int^{+\infty}_{0}\frac 1{(2+3x)^2}dx$
(4) $\int^{+\infty}_{0}\frac 1{4+x^2}dx$
(5) $\int^{+\infty}_{0}xe^{-2x}dx$
(6) $\int^{+\infty}_{0}x^2e^{-x}dx$
(7) $\int^{+\infty}_{1}\frac {\log x}{x^2}dx$ （$\frac 1{x^2}=\left(-\frac 1x\right)'$を使います．）

II $X$が標準正規分布に従う確率変数とします．

(1) $Z$を$\{z>0\}$で定義される確率変数とします．$\log Z=X$を満たすとする時， $Z$の密度関数を求めましょう．（$Z$を対数正規分布と呼び，数理ファイナンスなどに出て来ます．）

(2) $W:=X^2$を$\{w\geq 0\}$で定義される確率変数と します．$W$の密度関数を求めましょう．（カイ自乗分布）