微分積分演習問題 wL08 2020/11/25
- I
- $p,q,I>0$とします.効用関数
$$
u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 23}
$$
を制約条件
$$
I-px-qy=0
$$
の下で考えます.停留点を求めて極大点であることを示しましょう.
- II
- $p,q,I>0$とします.効用関数
$$
u(x,y)=\frac 13\log x+\frac 23\log y
$$
を制約条件
$$
I-px-qy=0
$$
の下で考えます.停留点を求めて極大点であることを示しましょう.
- III
- 制約条件
$$
x^2+2y^2-24=0
$$
の下で
$$z=x+y$$
を考えます.停留点を求めて極大・極小を判定しましょう.
- IV
- 制約条件
$$
x^2+y^2-1=0
$$
の下で
$$z=xy$$
を考えます.停留点を求めて極大・極小を判定しましょう.
- V
-
$u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}$とします.制約条件
\begin{equation*}
u(x,y)=\bar{u}
\end{equation*}
の下で$f(x,y)=px+qy$を考えます.停留点を求めましょう.
- VI
- Vによって得られたHiggs型(補償)需要
関数を
\begin{equation*}
x^*(p,q,\bar{u}),\ y^*(p,q,\bar{u})
\end{equation*}
とします.最小支出関数
\begin{equation*}
E(p,q,\bar{u})=px^*(p,q,\bar{u})+qy^*(p,q,\bar{u})
\end{equation*}
と定めるとき,マッケンジーの補題
\begin{equation*}
\frac{\partial E}{\partial p}(p,q,\bar{u})=x^*(p,q,\bar{u}),
\quad
\frac{\partial E}{\partial q}(p,q,\bar{u})=y^*(p,q,\bar{u})
\end{equation*}
が成立することを示しましょう.
- VII
- VI
に引続き,$I-px-qy=0$の下で$u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}$を最大化
して需要関数
\begin{equation}
x(p,q,I)=\frac I{2p},\ y(p,q,I)=\frac I{2q},\
\end{equation}
を得たとします.間接効用関数を
\begin{equation}
v(p,q,I)=u(x(p,q,I),x(p,q,I))
\end{equation}
と定めるとき,以下が成立することを具体的に計算して示しましょう.
- (1)
\begin{equation}
x^*(p,q,\bar{u})=x(p,q,E(p,q,\bar{u}))
\end{equation}
- (2)
\begin{equation}
x(p,q,I)=x^*(p,q,v(p,q,I))
\end{equation}
- (3)
\begin{equation}
v(p,q,E(p,q,\bar{u}))=\bar{u}
\end{equation}
- (4)
\begin{equation}
E(p,q,v(p,q,I))=I
\end{equation}
- VIII
-
曲線$g(x,y):=x^2-xy+y^2-1$を$(1,1)$の近傍で解いた
\begin{equation*}
y=\varphi(x)=\frac {x+\sqrt{4-3x^2}}{2}
\end{equation*}
に対して$\varphi''(1)$を$g$の1階および2階の偏微分係数を用いて求めましょう.
- IX 以下の積分の値を求めましょう。
-
(1) $\int^2_{-1}\frac x{\sqrt{3-x}}dx$,
(2) $\int^1_{0}\frac {x-1}{(2-x)^2}dx$,
(3) $\int^2_{1}x{\sqrt{2-x}}dx$,
(4) $\int^6_{0}\left(\frac x3-1\right)^4dx$,
-
(5) $\int^2_{1}\frac {e^x}{e^x+1}dx$,
(6) $\int^2_{1}\frac {e^x}{(e^x+1)^2}dx$,
(7) $\int^e_{1}\frac {(\log x)^2}{x}dx$,
(8) $\int^1_{0}\sqrt{3-2x}dx$