微分積分演習問題　wL08 2020/11/25

I

$p,q,I>0$とします．効用関数 $$ u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 23} $$ を制約条件 $$ I-px-qy=0 $$ の下で考えます．停留点を求めて極大点であることを示しましょう．

II

$p,q,I>0$とします．効用関数 $$ u(x,y)=\frac 13\log x+\frac 23\log y $$ を制約条件 $$ I-px-qy=0 $$ の下で考えます．停留点を求めて極大点であることを示しましょう．

III

制約条件 $$ x^2+2y^2-24=0 $$ の下で $$z=x+y$$ を考えます．停留点を求めて極大・極小を判定しましょう．

IV

制約条件 $$ x^2+y^2-1=0 $$ の下で $$z=xy$$ を考えます．停留点を求めて極大・極小を判定しましょう．

V

$u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}$とします．制約条件 \begin{equation*} u(x,y)=\bar{u} \end{equation*} の下で$f(x,y)=px+qy$を考えます．停留点を求めましょう．

VI

Vによって得られたHiggs型（補償）需要 関数を \begin{equation*} x^*(p,q,\bar{u}),\ y^*(p,q,\bar{u}) \end{equation*} とします．最小支出関数 \begin{equation*} E(p,q,\bar{u})=px^*(p,q,\bar{u})+qy^*(p,q,\bar{u}) \end{equation*} と定めるとき，マッケンジーの補題 \begin{equation*} \frac{\partial E}{\partial p}(p,q,\bar{u})=x^*(p,q,\bar{u}), \quad \frac{\partial E}{\partial q}(p,q,\bar{u})=y^*(p,q,\bar{u}) \end{equation*} が成立することを示しましょう．

VII

VI に引続き，$I-px-qy=0$の下で$u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}$を最大化 して需要関数 \begin{equation} x(p,q,I)=\frac I{2p},\ y(p,q,I)=\frac I{2q},\ \end{equation} を得たとします．間接効用関数を \begin{equation} v(p,q,I)=u(x(p,q,I),x(p,q,I)) \end{equation} と定めるとき，以下が成立することを具体的に計算して示しましょう．

(1) \begin{equation} x^*(p,q,\bar{u})=x(p,q,E(p,q,\bar{u})) \end{equation}

(2) \begin{equation} x(p,q,I)=x^*(p,q,v(p,q,I)) \end{equation}

(3) \begin{equation} v(p,q,E(p,q,\bar{u}))=\bar{u} \end{equation}

(4) \begin{equation} E(p,q,v(p,q,I))=I \end{equation}

VIII

曲線$g(x,y):=x^2-xy+y^2-1$を$(1,1)$の近傍で解いた \begin{equation*} y=\varphi(x)=\frac {x+\sqrt{4-3x^2}}{2} \end{equation*} に対して$\varphi''(1)$を$g$の1階および2階の偏微分係数を用いて求めましょう．

IX 以下の積分の値を求めましょう。

(1) $\int^2_{-1}\frac x{\sqrt{3-x}}dx$, (2) $\int^1_{0}\frac {x-1}{(2-x)^2}dx$, (3) $\int^2_{1}x{\sqrt{2-x}}dx$, (4) $\int^6_{0}\left(\frac x3-1\right)^4dx$,

(5) $\int^2_{1}\frac {e^x}{e^x+1}dx$, (6) $\int^2_{1}\frac {e^x}{(e^x+1)^2}dx$, (7) $\int^e_{1}\frac {(\log x)^2}{x}dx$, (8) $\int^1_{0}\sqrt{3-2x}dx$