微分積分演習問題wL 07 　2020/11/18

I

$p,q,I>0$とします．効用関数 $$ u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13} $$ を制約条件 $$ I-px-qy=0 $$ の下で最大化することを考えます．

(1) 停留点を求めて $$ x(p,q,I)=\frac I{2p},\quad y(p,q,I)=\frac I{2q},\quad \lambda=\frac 13\sqrt[3]{\frac 2{pqI}} $$ であることを示しましょう．

(2) 間接効用関数 $$ v(p,q,I)=u(x(p,q,I),y(p,q,I)) $$ に対して $$ \frac{\partial v}{\partial I}=\lambda(p,q,I) $$ が成立することを示しましょう．

(3) Royの恒等式 $$ \frac{\partial v}{\partial x}+ \frac{\partial v}{\partial I}\cdot x(p,q,I)=0 $$ が成立することを示しましょう．

II

$p,q,I>0$とします．効用関数 $$ u(x,y)=\frac 13\log x+\frac 13\log y $$ を制約条件 $$ I-px-qy=0 $$ の下で最大化することを考えます．

停留点を求めて、需要関数と所得の限界効用関数$\lambda(p,q,I)$を求めましょう．

III

制約条件 $$ x^2+2y^2-24=0 $$ の下で $$z=x+y$$ の停留点を求めましょう．

IV

$p,q,I>0$とします．効用関数 $$ u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 23} $$ を制約条件 $$ I-px-qy=0 $$ の下で最大化することを考えます．

停留点を求めて、需要関数と所得の限界効用関数$\lambda(p,q,I)$を求めましょう．

V

$g(x,y):=2x^2+y^2-1=0$の下で $z=f(x,y)=x^2y$を考えます．停留点を求めましょう． （CT290ページ，演習8.13）

VI

$x$の関数$y=\varphi(x)$が \begin{equation*} x^2+\varphi(x)^2-3x\varphi(x)=0 \end{equation*} を満たしているとします．$\varphi'(x)$と$\varphi''(x)$を $x$と$\varphi(x)$で表しましょう． （CT294ページ，演習8.18）

VII

以下の関数が第1象限$\mathbf{R}^2_{++}$上でEuler方程式を満たすことを示しましょう．

(1) $u(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$, (2) $u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 23}$

VIII

(1) $\int^{\frac {\pi}2}_0 t\sin tdt$, (2) $\int^1_{-1} \frac 1{\sqrt{x+2}}dx$, (3) $\int^1_0 x(x-1)^3dx$, (4) $\int^6_{0} \left(\frac 13x-1\right)^4dx$,

(5) $\int^{-1}_{-3} \frac 1{(2x+1)^3}dx$, (6) $\int^{1}_{0} (x+1)e^xdx$, (7) $\int^{1}_{-1} (x+1)^3(x-1)dx$ （部分積分で）