微分積分演習問題wL 07 2020/11/18
- I
- $p,q,I>0$とします.効用関数
$$
u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}
$$
を制約条件
$$
I-px-qy=0
$$
の下で最大化することを考えます.
- (1)
停留点を求めて
$$
x(p,q,I)=\frac I{2p},\quad y(p,q,I)=\frac I{2q},\quad
\lambda=\frac 13\sqrt[3]{\frac 2{pqI}}
$$
であることを示しましょう.
- (2) 間接効用関数
$$
v(p,q,I)=u(x(p,q,I),y(p,q,I))
$$
に対して
$$
\frac{\partial v}{\partial I}=\lambda(p,q,I)
$$
が成立することを示しましょう.
- (3) Royの恒等式
$$
\frac{\partial v}{\partial x}+
\frac{\partial v}{\partial I}\cdot x(p,q,I)=0
$$
が成立することを示しましょう.
- II
- $p,q,I>0$とします.効用関数
$$
u(x,y)=\frac 13\log x+\frac 13\log y
$$
を制約条件
$$
I-px-qy=0
$$
の下で最大化することを考えます.
-
停留点を求めて、需要関数と所得の限界効用関数$\lambda(p,q,I)$を求めましょう.
- III
- 制約条件
$$
x^2+2y^2-24=0
$$
の下で
$$z=x+y$$
の停留点を求めましょう.
- IV
- $p,q,I>0$とします.効用関数
$$
u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 23}
$$
を制約条件
$$
I-px-qy=0
$$
の下で最大化することを考えます.
-
停留点を求めて、需要関数と所得の限界効用関数$\lambda(p,q,I)$を求めましょう.
- V
- $g(x,y):=2x^2+y^2-1=0$の下で
$z=f(x,y)=x^2y$を考えます.停留点を求めましょう.
(CT290ページ,演習8.13)
- VI
- $x$の関数$y=\varphi(x)$が
\begin{equation*}
x^2+\varphi(x)^2-3x\varphi(x)=0
\end{equation*}
を満たしているとします.$\varphi'(x)$と$\varphi''(x)$を
$x$と$\varphi(x)$で表しましょう.
(CT294ページ,演習8.18)
- VII
-
以下の関数が第1象限$\mathbf{R}^2_{++}$上でEuler方程式を満たすことを示しましょう.
- (1) $u(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$,
(2) $u(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 23}$
- VIII
-
(1) $\int^{\frac {\pi}2}_0 t\sin tdt$,
(2) $\int^1_{-1} \frac 1{\sqrt{x+2}}dx$,
(3) $\int^1_0 x(x-1)^3dx$,
(4) $\int^6_{0} \left(\frac 13x-1\right)^4dx$,
-
(5) $\int^{-1}_{-3} \frac 1{(2x+1)^3}dx$,
(6) $\int^{1}_{0} (x+1)e^xdx$,
(7) $\int^{1}_{-1} (x+1)^3(x-1)dx$ (部分積分で)