微分積分、演習問題(wLec 05, 2020年11月04日）
- I
- 以下の実対称行列を回転行列で対角化しましょう．さらに
$A$が定める2次形式を回転座標変換で単純にしましょう．
-
(1)
$A=
\begin{pmatrix}
-1&3\\
3&7
\end{pmatrix}$
(2)
$A=
\begin{pmatrix}
1&2\\
2&1
\end{pmatrix}$
(3)
$A=
\begin{pmatrix}
1&4\\
4&7
\end{pmatrix}$
-
(4)
$A=
\begin{pmatrix}
2&-2\\
-2&-1
\end{pmatrix}$
(5)
$A=
\begin{pmatrix}
3&-3\\
-3&11
\end{pmatrix}$
- 解答ビデオ(1) ,
(2) ,
(3) ,
(4) ,
(5)
- II
- （演習7.8）
対称行列$A$が定める$2$次形式が正定値であるとします．このとき$A$が正則で
あることを確認して，$A^{-1}$が対称で$A^{-1}$が
定める$2$次形式も正定値であることを示しましょう．
-
解答ビデオ
- III
- 生産関数
$$
f(x,y)=x^\alpha y^\beta\quad (\alpha,\beta>0)
$$
を考えます．
- (1)
$\det(H(f))$, $f_{xx}$を計算しましょう．
- (2)
$\alpha+\beta\not=1$のとき，利潤関数
$$
\pi(x,y):=pf(x,y)-qx-ry
$$
の停留点を求めましょう．ここでは$p,q,r>0$とします．
- (3)
$\alpha+\beta<1$のとき利潤を最大化する$(x,y)$がただ一つ存在することを示しましょう．
- IV
- 生産関数
$f(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}$に対する利潤関数
$$
\pi(x,y)=pf(x,y)-qx-ry
$$
を最大化して生産要素需要関数
$$
x(p,q,r)=\frac {p^3}{27q^2r},\quad
y(p,q,r)=\frac {p^3}{27qr^2}
$$
を求めました．利潤関数
$$
\Pi(p,q,r)=\pi(x(p,q,r),y(p,q,r))
$$
生産物供給関数
$$
z(p,q,r)=f(x(p,q,r),y(p,q,r))
$$
を定義すると
\begin{align*}
z(p,q,r)&=\frac {\partial \Pi}{\partial p}\\
x(p,q,r)&=-\frac {\partial \Pi}{\partial q}\\
y(p,q,r)&=-\frac {\partial \Pi}{\partial r}
\end{align*}
が成立することを、具体的に両辺を計算することで示しましょう．