微分積分、演習問題(wL04, 2020年10月28日）
- I
以下の関数$z$ に対して停留点を求めて,極大・極小を判定しましょう.
- (1)
$z=x^2+xy+y^2-4x-8y$
- (2)
$z=x^3+y^3-9xy+27$
- (3)
$z=x^2+xy-y^2-4x-2y$
- (4)
$z=x^2+4xy+2y^2-6x-8y$
- (5)
$z=x^3-xy-y^2$
- (6)
$z=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)$
- (7)
$z=x^3+y^3+6xy$
- II
- $\alpha,\beta>0$, $\rho>0$を定数として
CES関数を
\begin{equation}
Y=F(K,L)=
\left(
\alpha K^\rho+\beta L^\rho
\right)^\frac 1{\rho}
\end{equation}
と定義します.
- (1)
$\log F(K,L)$を$K$, $L$で偏微分して$F_K(K,L)$,
$F_L(K,L)$を求めましょう.
- (2)
$F(K,L)$がEuler の等式
\begin{equation}
K\cdot F_K(K,L)+L\cdot F_L(K,L)=F(K,L)
\end{equation}
を満たすことを示しましょう.
- III
- $\alpha,\beta>0, A>0$を定数として
Cobb-Douglas型関数を
\begin{equation}
Y=F(K,L)=
AK^\alpha L^\beta
\end{equation}
と定義します.
- (1)
$F_{KK}$, $F_{KL}$, $F_{LK}$, $F_{LL}$を求めましょう.
- (2)
第1象限のすべての点$(K,L)\in\mathbf{R}^2_{++}$に対して
\begin{equation}
F_{KK}(K,L)<0,\ \text{かつ}\
\det(H(F)(K,L)>0
\end{equation}
を満たす$\alpha,\beta$の条件を求めましょう.
I
$\mathbf{R}^2$の開集合$U$上で定義された関数$f(x,y)$が与えられているとします．他方$U$の中に
$C^2$級の
曲線
$(x(t),y(t))$
が与えられているとします．このとき
\begin{equation*}
F(t):=f(x(t),y(t))
\end{equation*}
を定義します．このとき
\begin{equation*}
F''(t):=
\left(
H(f)(x(t),y(t))
\left(
\begin{smallmatrix}
x'(t)\\y'(t)
\end{smallmatrix}
\right),
\left(
\begin{smallmatrix}
x'(t)\\y'(t)
\end{smallmatrix}
\right)
\right)
+
\left(
\nabla(f)(x(t),y(t)),
\left(
\begin{smallmatrix}
x''(t)\\y''(t)
\end{smallmatrix}
\right)
\right)
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．