微分積分、演習問題(wLec03, 2020年10月21日）
- I
以下の関数に対して2階の導関数$z_{xx}$, $z_{xy}$, $z_{yy}$
を求めましょう．
- (1)
$z=x^2+xy+y^2-4x-8y$
- (2)
$z=x^3+y^3-9xy+27$
- (3)
$z=x^2+xy-y^2-4x-2y$
- (4)
$z=x^2+4xy+2y^2-6x-8y$
- (5)
$z=x^3-xy-y^2$
- (6)
$z=e^{-x^2-y^2}(2x^2+y^2)$
- (7)
$z=(x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)$
- (8)
$z=x^3+y^3+6xy$
- II
-
曲線
$
x^2+xy+y^2-x+2y=0
$
が回転座標変換
$
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
=
\frac 1{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1&-1\\1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X\\Y
\end{pmatrix}
$
によっていかなる式で表されるか考えましょう。
- III
-
曲線
$
x^2+3xy+y^2-1=0
$
が回転座標変換
$
\begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}
=
\frac 1{\sqrt 2}
\begin{pmatrix}
1&-1\\1&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X\\Y
\end{pmatrix}
$
によっていかなる式で表されるか考えましょう。
- IV
- (1)
$
A=
\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta\\
\sin\theta&-\cos\theta
\end{pmatrix}
$
に対して$A^2$を求めましょう．
- (2)
(1) を用いて$A^{-1}$を求めましょう．
- V
- $A,B\in M_2(\mathbf{R})$とします。
- （復習）$A$が正則であるとは$AX=XA=I_2$を満たす$X\in M_2(\mathbf{R})$が存在するときです．$A$が正則であるときは，この条件を満たす$X$はただ一つ存在することが示されて，$X=A^{-1}$と記します．
- (1) $A$が正則ならば$A^{-1}$も正則であることを示しましょう。
- (2) $A,B$が正則ならば積$AB$も正則であることを示しましょう。
- 解答ビデオ
- VI
- (1)
$\vec{a},\vec{b}\in\mathbf{R}^n$に対して
\begin{equation*}
{}^t(\vec{a}+\vec{b})
=
{}^t\vec{a}+{}^t\vec{b},\quad
{}^t(\lambda\vec{a})=\lambda({}^t\vec{a})
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- (2)
2次正方行列$A,B\in M_2(\mathbf{R})$に対して
\begin{equation*}
{}^t(A+B)
=
{}^tA+{}^tB,\quad
{}^t(\lambda A)=\lambda({}^tA)
\end{equation*}
が成立することを示しましょう．
- VII
-
$A\in M_2(\mathbf{R})$に対して
\begin{equation*}
\left(A\vec{v},\vec{w}\right)
=
\left(\vec{v},{}^tA\vec{w}\right)
\quad
(\vec{v},\vec{w}\in\mathbf{R}^2)
\end{equation*}
が成立することを用いて
\begin{equation*}
{}^t(AB)={}^tB{}^tA
\end{equation*}
を導きましょう．
- VIII
-
以下の行列$A\in M_2(\mathbf{R})$に対して$B:=\lambda I_2-A$
が正則でない$\lambda\in\mathbf{R}$を求めましょう．
(1)
$
\begin{pmatrix}
1&2\\3&-4
\end{pmatrix}
$
(2)
$
\begin{pmatrix}
-4&-2\\3&1
\end{pmatrix}
$
(3)
$
\begin{pmatrix}
1&12\\3&1
\end{pmatrix}
$
(4)
$
\begin{pmatrix}
2&2\\
2&5
\end{pmatrix}
$
(5)
$
\begin{pmatrix}
-1&3\\
3&7
\end{pmatrix}
$
- IX
- 以下の実対称行列$A$が定める2次形式が正定値か負定値か判定しましょう．
-
(1)
$A=
\begin{pmatrix}
-1&3\\
3&7
\end{pmatrix}$
(2)
$A=
\begin{pmatrix}
1&2\\
2&1
\end{pmatrix}$
(3)
$A=
\begin{pmatrix}
1&4\\
4&7
\end{pmatrix}$
-
(4)
$A=
\begin{pmatrix}
2&-2\\
-2&-1
\end{pmatrix}$
(5)
$A=
\begin{pmatrix}
3&-3\\
-3&11
\end{pmatrix}$
- X
- $f$は$\mathbf{R}$上の微分可能な関数とします．
- (1)
$F(x,y):=f(x^2+y^2)$と$\mathbf{R}^2$上の関数を定義します．
$\nabla(F)(x,y)$を求めましょう．
- (2) $y\not=0$のとき
$G(x,y):=f(\frac xy)$を定義します．
$\nabla(G)(x,y)$を求めましょう．
- XI
- (1)
$f(x,y,z)=e^x+e^{2y}+e^{3z}$とします．$\nabla(f)(0,0,0)$を求めましょう．
- (2)
$g(x,y,z)=e^{x+2y+3z}$とします．$\nabla(g)(0,0,0)$を求めましょう．
- XII
- $f$の$\mathrm{P}_0$における$\vec{v}$方向の微分
$D_{\vec{v}}(f)(\mathrm{P}_0)$を求めましょう．
- (1)
$f(x,y)=x+2y-1$ at $\mathrm{P}_0(1,2)$ in the direction
$\vec{v}=
\left(
\begin{smallmatrix}
1\\1
\end{smallmatrix}
\right)$
- (2)
$f(x,y)=x^2+2xy-y^3$ at $\mathrm{P}_0(1,1)$ in the direction
$\vec{v}=
\left(
\begin{smallmatrix}
1\\3
\end{smallmatrix}
\right)$