微分積分、演習問題(L02, 2020年10月17日）
- I
次の曲面の$\mathrm{P}_0$における接平面を求めましょう．
-
(1)
$z=xy-2x+2y-1$ at $\mathrm{P}_0(0,0,-1)$
(2)
$z=\frac x{x+y}$ at $\mathrm{P}_0(1,-2,-1)$
(3)
$z=x^2-xy+2y^2$ at $\mathrm{P}_0(2,1,4)$
(4)
$z=\frac y{1+x^2}$ at $\mathrm{P}_0(0,0,0)$
(2)と(4)では1変数の微分の公式
$$
\left(
\frac gf
\right)'
=\frac {g'f-gf'}{f^2}
$$
を用いましょう．
- II
以下の曲線$g(x,y)=0$ の $\mathrm{P}_0$における接線を求めましょう．
-
(1)
$g(x,y)=x^2+4y^2-1=0$ at $P_0(\frac 1{\sqrt 2}, \frac 1{2\sqrt 2})$
(2)
$g(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}-1=0$ at
$P_0(1,1)$
(3)
$g(x,y)=x^2-xy+y^2-1=0$ at $P_0(0,1)$
- III
-
資本$K$, 労働力$L$の投入に対する生産関数
\begin{equation*}
Q=F(K,L)=9K^{\frac 13}L^{\frac 23}
\end{equation*}
を考えます．
- (1)
$K=216$ and $L=10^3$に対する生産量$Q$を求めましょう．
- (2)
$(K,L)=(216,10^3)$
のときの資本の限界生産物MPKと労働の限界生産物MPLを求めて，
$F(216,998)$ と $F(217.5,10^3)$ の近似値を求めましょう．
- VI
次の$3$点$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$
を通る平面の方程式を求めましょう．
-
(1)
$\mathrm{A}(0,0,0)$, $\mathrm{B}(1,2,3)$,
$\mathrm{C}(4,5,6)$
-
(2)
$\mathrm{A}(2,0,0)$, $\mathrm{B}(0,3,0)$,
$\mathrm{C}(0,0,4)$
-
(3)
$\mathrm{A}(1,2,3)$, $\mathrm{B}(-1,1,0)$,
$\mathrm{C}(2,-3,5)$
- [解答ビデオ]
- （(3)のビデオの解答は計算間違いしています．
（修正版）
）
- V
-
$g(x,y)=x^2-y^2-1=0$をその上の点$(2,\sqrt 3)$の近傍で解いて
\begin{equation}
\varphi(x)=\sqrt{x^2-1}
\end{equation}
とします．$\varphi'(2)$を$g$の1階の偏微分係数を用いて求めましょう．
- VI
-
Cobb-Douglas型生産関数
\begin{equation}
Q=F(K,L)=4K^{\frac 34}L^{\frac 14}
\end{equation}
に対して
$F(10^4+100,625+(-15))$の近似値を
$K=10^4,\ L=625$におけるMPK,MPLを用いて求めましょう．電卓でも計算してみましょう．
- VII
-
ある工場が非熟練労働$x$時間，熟練労働$y$時間を使ってある生産物を
\begin{equation*}
Q=F(x,y)=60x^{\frac 23}y^{\frac 13}
\end{equation*}
単位生産していて，現在$x=64$, $y=27$となっているとします．
- (1) 現在の生産量を求めましょう．
- (2) どの方向に$(x,y)$を変化させれば$Q$が最も増加するでしょうか？
- (3) 熟練労働を1.5時間増加させるが，生産レベルを保つとします．非熟練労働はどのように変化させることになるか近似値を求めましょう．
- VIII
-
曲線$g(x,y):=x^2-xy+y^2-1$を$(1,1)$の近傍で解いた
\begin{equation*}
y=\varphi(x)=\frac {x+\sqrt{4-3x^2}}{2}
\end{equation*}
に対して$\varphi'(1)$を$g$の1階の偏微分係数を用いて求めましょう．
- IX
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第1財を$x$, 第2財を$y$購入した時の効用が$u(x,y)=x^{\frac 12}y^{\frac 13}$
となっている．$(x,y)=(1,1)$におけるMRSを求めましょう．
- X
-
$\begin{pmatrix}
a\\b\\c
\end{pmatrix}
\not=\vec 0
$
とします．平面
$$
ax+by+cz+q=0
$$
と点$(x_0,y_0,z_0)$の距離$\delta$は
$$
\delta=
\frac{|ax_0+by_0+cz_0+q|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
$$
となることを示しましょう．
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[解答ビデオ]
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[解答PDF]