微分積分入門
第11講義 07/15
- 2020/07/15 第11講義 演習問題
- I
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曲線$xy-x+y+1=0$がその上の点$(a,b)$の近くで$y=\varphi(x)$と表されているとします.$\varphi(a)$, $\varphi'(a)$, $\varphi''(a)$を$a,b$で表示しましょう.ここでは$\varphi(x)$を求めないで求めましょう.
- II
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生産関数$z=f(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}$が与えられているとします.これは第1生産要素を$x$,第2生産要素を$y$投入したら生産物が$z$産出されるという意味です.
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(1)
等産出曲線$f(x,y)=1$上の点$(a,b)$における(技術的)限界代替率は$(a,b)$の近くで曲線を$y=\varphi(x)$と表したとき
\begin{equation*}
MRS=-\varphi'(a)
\end{equation*}
で定義されます.$\varphi(x)$を求めないで$MRS$を求めましょう.
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- III
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需要関数$A(p)$が
\begin{equation*}
A'(p)=-\xi \frac {A(p)}p
\end{equation*}
を満たすとします.ここで$\xi$は$p$に依らない定数とします.
このとき
\begin{equation*}
(A(p)p^{\xi})'
\end{equation*}
を計算して$A(p)$を求めましょう.これは弾力性一定の需要関数を求める議論です.
- IV
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$a\in\mathbf{R}$とします.$0$を含む開区間$I$上で定義された関数$f$が
\begin{equation*}
f'(t)=a f(t)
\end{equation*}
を満たすとします.
このとき
\begin{equation*}
(f(t)e^{-at})'
\end{equation*}
を計算して$f(t)$を求めましょう.これは力学(系)を勉強するときに重要となります.
- V
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財Xの市場を独占するA社がああります.Xの市場の需要関数が
\begin{equation*}
Q=100-5P
\end{equation*}
で与えられているとします.価格$P$について$P=3,5,10$のときの価格弾力性
\begin{equation*}
\rho:=-\frac PQ\cdot \frac {dQ}{dP}
\end{equation*}
を求めましょう.
- VI
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財Xの市場を独占するA社がある.Xの市場の需要関数が
\begin{equation*}
Q=1000-5P-P^2
\end{equation*}
で与えられているとします.価格$P$について$P=20$のときの価格弾力性
\begin{equation*}
\rho:=-\frac PQ\cdot \frac {dQ}{dP}
\end{equation*}
を求めましょう.