微分積分入門

第11講義 07/15

2020/07/15 第11講義　演習問題

I

曲線$xy-x+y+1=0$がその上の点$(a,b)$の近くで$y=\varphi(x)$と表されているとします．$\varphi(a)$, $\varphi'(a)$, $\varphi''(a)$を$a,b$で表示しましょう．ここでは$\varphi(x)$を求めないで求めましょう．

II

生産関数$z=f(x,y)=x^{\frac 13}y^{\frac 13}$が与えられているとします．これは第1生産要素を$x$，第2生産要素を$y$投入したら生産物が$z$産出されるという意味です．

(1) 等産出曲線$f(x,y)=1$上の点$(a,b)$における（技術的）限界代替率は$(a,b)$の近くで曲線を$y=\varphi(x)$と表したとき \begin{equation*} MRS=-\varphi'(a) \end{equation*} で定義されます．$\varphi(x)$を求めないで$MRS$を求めましょう．

III

需要関数$A(p)$が \begin{equation*} A'(p)=-\xi \frac {A(p)}p \end{equation*} を満たすとします．ここで$\xi$は$p$に依らない定数とします． このとき \begin{equation*} (A(p)p^{\xi})' \end{equation*} を計算して$A(p)$を求めましょう．これは弾力性一定の需要関数を求める議論です．

IV

$a\in\mathbf{R}$とします．$0$を含む開区間$I$上で定義された関数$f$が \begin{equation*} f'(t)=a f(t) \end{equation*} を満たすとします． このとき \begin{equation*} (f(t)e^{-at})' \end{equation*} を計算して$f(t)$を求めましょう．これは力学（系）を勉強するときに重要となります．

V

財Xの市場を独占するA社がああります．Xの市場の需要関数が \begin{equation*} Q=100-5P \end{equation*} で与えられているとします．価格$P$について$P=3,5,10$のときの価格弾力性 \begin{equation*} \rho:=-\frac PQ\cdot \frac {dQ}{dP} \end{equation*} を求めましょう．

VI

財Xの市場を独占するA社がある．Xの市場の需要関数が \begin{equation*} Q=1000-5P-P^2 \end{equation*} で与えられているとします．価格$P$について$P=20$のときの価格弾力性 \begin{equation*} \rho:=-\frac PQ\cdot \frac {dQ}{dP} \end{equation*} を求めましょう．