微分積分入門 演習問題(Lec 10, 2020年07月08日）
- I
- $f(t)=\sin t$に対して$3$階のTaylorの定理を適用しましょう．
$a=0$, $b=t$とします．
- II
- $g(t)=\cos t$に対して$3$階のTaylorの定理を適用しましょう．
$a=0$, $b=t$とします．
- III
- 極限
\begin{equation*}
\lim_{t\rightarrow 0}\frac {\sin t-t}{t^3}
\end{equation*}
をCauchyの定理またはTaylorの定理を用いて求めましょう．
- IV
- $f(x)=\sin x$に4階のTaylorの定理を適用して不等式
-
\begin{equation}
\sin x > x-\frac 1{3!}x^3\quad (0 < x <\pi)
\end{equation}
を示しましょう．
- V
-
$$
\varphi(x)=-\frac x2+\sqrt{1-\frac 34x^2}
$$
が
$$
x^2+x\varphi(x)+\varphi(x)^2-1=0
$$
が成立することを用いて
$\varphi'(x)$, $\varphi''(x)$を$x$と$\varphi(x)$で表しましょう．
- VI
-
$$
\varphi(x)=\frac {1-x}{x-2}
$$
が
$$
x\varphi(x)+x-2\varphi(x)-1=0
$$
を満たすことを用いて以下を考えましょう．
- (1)
$$
\varphi'(x)=\frac {1+\varphi(x)}{2-x}
$$
が成立することを示しましょう．
- (2)
$\varphi''(x)$を$x$と$\varphi(x)$で表しましょう．
- VII
- $\varphi(x)$
が
$$
x^2-x\varphi(x)+\varphi(x)^2-3=0
$$
を満たすことを用いて
$\varphi'(x)$と$\varphi''(x)$を
$x$と$\varphi(x)$で表しましょう．