微分積分入門

第09講義 07/01

2020/07/01 第09講義　演習問題

I

関数 $$f(t)=\log(1+t)$$ に対して$t=0$においてTaylor の定理を$n=4$で適用しましょう．

II

関数 $$f(t)=\frac 1{1+t}$$ に対して$t=0$においてTaylor の定理を$n=4$で適用しましょう．

III

関数 $f(t)=te^t$に対して高次の導関数$f^{(n)}(t)$を求めましょう．

IV

Taylor の定理を用いて不等式 $$ e^t> 1+t+\frac 12 t^2+\frac 1{3!}t^3\quad (t\not=0) $$ を示しましょう．

V

(1) $f(t)=\sqrt{1+t}$に対して$f'(t)$、$f''(t)$, $f^{(3)}(t)$を求めましょう．

(2) $t>0$のとき不等式 $$ 1+\frac 12 t-\frac 18 t^2<\sqrt {1+t}<1+\frac 12 t $$ が成立することを示しましょう．ただしTaylor の定理を用いましょう．

VI

不等式 $$ t-\frac {t^2}2< \log (1+t)< t-\frac {t^2}2+\frac {t^3}{3!} \quad (t>0) $$ を示しましょう．

2017/07/05 小テスト問題

I

$f(t)=\frac 1{t+1}$に対して3階のTaylorの定理を $a=0$, $b=t$に対して適用しましょう．

II

$f(t)=\sqrt{t+1}$に対して4階のTaylorの定理を $a=0$, $b=t$に対して適用しましょう．