微分積分演習（2020年度）

第5講義06/03

2020/06/03 第5講 演習問題

I

以下の数列$\{x_n\}$に対して $$ \lim_{n\rightarrow +\infty}x_n=+\infty $$ が成立することを示しましょう． (1) $x_n=\frac {8n^2-3}{2n+5}$ (2) $x_n=\frac {n^3-n}{n^2+1}$ (3) $x_n=\frac {4^n-2^n}{3^n+2^n}$

II

以下の関数$f(x)$に対して極限 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$ を求めましょう．

(1) $f(x)=\frac x{x^2+5}$ (2) $f(x)=\frac{2x+3}{x-1}$ (3) $f(x)= \sqrt{x^2+2x+4}-\sqrt{x^2+4} $ (4) $f(x)=\frac {x^2+5x+6}{x+1}$ (5) $f(x)=\frac {x+3}{x^2+5x+6}$

III

数列$\{x_n\}$, $\{y_n\}$が \begin{equation*} x_n\rightarrow +\infty,\quad y_n\rightarrow\alpha\in\mathbf{R}\quad (n\rightarrow +\infty) \end{equation*} を満たします．このとき \begin{equation*} x_n+y_n\rightarrow +\infty\quad(n\rightarrow +\infty) \end{equation*} が成立することを示しましょう．

IV

函数$y=\frac {x^2-3x+3}{x-2}$について考えます．

(1) 導関数$y'$を求めましょう．
(2) $y=ax+b+\frac c{x-2}$ を満たす定数$a,b,c$を求めましょう．
(3) $y$の増減表を求めてグラフを求めましょう．

V

函数$y=\frac {x^2-2x-1}{x-1}$について考えます．

(1) 導関数$y'$を求めましょう．
(2) $y=ax+b+\frac c{x-1}$ を満たす定数$a,b,c$を求めましょう．
(3) $y$の増減表を求めてグラフを求めましょう．

IV

函数$y=\frac {x^2-x-2}{(x-1)(x-3)}$について考えます．

(1) 導関数$y'$を求めましょう．
(2) $y=a+\frac b{x-1}+\frac c{x-3}$ を満たす定数$a,b,c$を求めましょう．
(3) $y$の増減表を求めてグラフを求めましょう．